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第1章 函数、极限与连续1

1.1 走进高等数学1

习题1-12

1.2 函数2

1.2.1 集合2

1.2.2 函数6

习题1-216

1.3 数列极限17

1.3.1 数列的概念17

1.3.2 收敛数列的性质20

习题1-321

1.4 函数的极限21

1.4.1 x→x0时f（x）的极限21

1.4.2 x→∞时f（x）的极限23

1.4.3 函数极限的性质25

习题1-426

1.5 无穷大与无穷小及无穷小的运算26

1.5.1 无穷大27

1.5.2 无穷小28

1.5.3 无穷小与无穷大的关系28

1.5.4 无穷小的运算29

习题1-530

1.6 极限运算法则31

习题1-634

1.7 极限存在准则与两个重要极限35

1.7.1 准则Ⅰ与极限lim x→0 sinx/x＝136

1.7.2 准则Ⅱ与极限lim n→∞（1＋1/n）n＝e38

1.7.3 两个重要极限的变形及推广39

习题1-742

1.8 函数的连续与间断43

1.8.1 函数连续43

1.8.2 函数间断44

习题1-847

1.9 连续函数的运算与性质48

1.9.1 连续函数的四则运算48

1.9.2 反函数与复合函数的连续性48

1.9.3 初等函数的连续性50

1.9.4 闭区间上连续函数的性质50

习题1-952

第2章 导数与微分54

2.1 导数的概念54

2.1.1 引例54

2.1.2 定义55

2.1.3 导数求解示例56

2.1.4 可导与连续的关系59

习题2-159

2.2 求导法则59

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则60

2.2.2 反函数的导数61

2.2.3 复合函数的求导法则62

2.2.4 求导法则与求导公式的归纳64

习题2-265

2.3 函数曲线的切线方程与函数相关变化率66

2.3.1 函数曲线的切线与法线方程66

2.3.2 函数相关变化率67

习题2-369

2.4 高阶导数69

习题2-471

2.5 隐函数、幂指函数及由参数方程确定的函数的导数71

2.5.1 隐函数的求导72

2.5.2 幂指函数等的求导73

2.5.3 由参数方程确定的函数的求导74

习题2-574

2.6 函数的微分75

2.6.1 微分的概念75

2.6.2 微分的几何意义77

2.6.3 微分公式与微分法则的归纳77

2.6.4 微分的应用80

习题2-682

第3章 微分中值定理与导数的应用84

3.1 微分中值定理84

3.1.1 罗尔定理84

3.1.2 拉格朗日中值定理86

3.1.3 柯西中值定理88

习题3-189

3.2 洛必达法则90

习题3-294

3.3 泰勒中值定理94

习题3-398

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性99

3.4.1 函数单调性的判定法99

3.4.2 函数凹凸性与拐点的判定法101

习题3-4104

3.5 函数的极值与最大值、最小值105

3.5.1 函数的极值及其求法105

3.5.2 函数的最大值、最小值问题108

习题3-5110

3.6 函数图形的描绘111

习题3-6115

3.7 曲率115

3.7.1 弧微分115

3.7.2 曲率及其计算公式116

习题3-7119

第4章 不定积分120

4.1 不定积分的概念与性质120

4.1.1 原函数与不定积分120

4.1.2 基本积分公式123

4.1.3 不定积分的性质及初步积分法示例123

习题4-1125

4.2 换元积分法126

4.2.1 第一类换元法126

4.2.2 第二类换元法131

习题4-2135

4.3 分部积分法137

习题4-3140

4.4 几种特殊类型函数的积分141

4.4.1 有理函数的积分141

4.4.2 三角函数有理式的积分142

4.4.3 简单无理函数的积分143

习题4-4144

第5章 定积分及其应用145

5.1 定积分的概念145

5.1.1 引例145

5.1.2 定积分定义147

习题5-1149

5.2 定积分的性质150

习题5-2153

5.3 微积分基本公式154

5.3.1 寻找轻松计算定积分的途径154

5.3.2 积分上限的函数及其导数154

5.3.3 牛顿-莱布尼茨公式156

习题5-3159

5.4 定积分的换元法与分部积分法160

5.4.1 定积分的换元法160

5.4.2 定积分的分部积分法163

习题5-4165

5.5 反常积分初步166

5.5.1 积分区间为无穷区间的反常积分166

5.5.2 无界函数的反常积分168

习题5-5169

5.6 定积分的应用169

5.6.1 元素法170

5.6.2 平面图形的面积171

5.6.3 体积173

5.6.4 平面曲线的弧长175

5.6.5 功176

习题5-6177

第6章 常微分方程初步178

6.1 微分方程的基本概念178

习题6-1180

6.2 可分离变量的微分方程181

6.2.1 可分离变量的微分方程181

6.2.2 齐次方程182

习题6-2183

6.3 一阶线性微分方程184

习题6-3185

第7章 多元函数微积分186

7.1 空间解析几何简介186

7.1.1 空间直角坐标系186

7.1.2 空间两点间的距离187

7.1.3 曲面及其方程187

习题7-1191

7.2 多元函数的概念、极限和连续192

7.2.1 平面区域192

7.2.2 多元函数的概念192

7.2.3 二元函数的极限194

7.2.4 二元函数的连续性195

习题7-2196

7.3 偏导数197

7.3.1 偏导数的概念及其计算197

7.3.2 偏导数的几何意义199

7.3.3 高阶偏导数200

习题7-3201

7.4 全微分202

习题7-4205

7.5 多元复合函数求导法则与隐函数求导公式206

7.5.1 多元复合函数求导法则206

7.5.2 全微分形式的不变性208

7.5.3 隐函数求导法则209

习题7-5211

7.6 多元函数的极值及其求法213

7.6.1 二元函数极值的概念213

7.6.2 条件极值与拉格朗日乘数法215

习题7-6216

7.7 二重积分的概念与性质218

7.7.1 二重积分的概念218

7.7.2 二重积分的几何意义220

7.7.3 二重积分的性质220

习题7-7221

7.8 直角坐标系下二重积分的计算223

7.8.1 直角坐标系下积分区域的描述223

7.8.2 直角坐标系下二重积分的计算224

7.8.3 交换二次积分的积分次序227

7.8.4 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算229

习题7-8230

7.9 极坐标系下二重积分的计算233

7.9.1 极坐标的概念233

7.9.2 利用极坐标计算二重积分234

习题7-9238

第8章 无穷级数241

8.1 常数项级数的概念和性质241

8.1.1 常数项级数的概念241

8.1.2 收敛级数的基本性质243

习题8-1246

8.2 正项级数247

8.2.1 正项级数收敛的充要条件247

8.2.2 正项级数的比较审敛法248

8.2.3 正项级数的比值审敛法与根值审敛法250

习题8-2252

8.3 一般常数项级数254

8.3.1 交错级数254

8.3.2 绝对收敛与条件收敛255

习题8-3257

8.4 幂级数259

8.4.1 函数项级数的概念259

8.4.2 幂级数及其敛散性259

8.4.3 幂级数的运算263

习题8-4265

8.5 函数展开成幂级数266

8.5.1 泰勒级数266

8.5.2 函数展开成幂级数的方法267

8.5.3 函数幂级数展开式的应用271

习题8-5272

附录275

附录Ⅰ 中学数学公式275

附录Ⅱ 常用曲线279

附录Ⅲ 常用曲面283

附录Ⅳ 全国统一考试高等数学（B）考试大纲287

习题答案与提示291

参考文献312