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第1章 行列式1

1.1 数域1

1.2 二、三阶行列式2

1.3 n阶行列式的定义4

1.4 行列式的性质6

1.5 行列式展开定理10

1.5.1 按一行（列）展开公式11

1.5.2 Laplace定理14

1.6 Cramer法则16

1.6.1 线性方程组的概念16

1.6.2 Cramer法则17

习题120

第2章 矩阵及其运算25

2.1 矩阵的概念25

2.2 矩阵的基本运算27

2.2.1 矩阵的线性运算27

2.2.2 矩阵乘法28

2.2.3 方阵的幂30

2.2.4 矩阵的转置31

2.2.5 方阵的行列式33

2.2.6 共轭矩阵34

2.3 逆矩阵35

2.4 分块矩阵39

习题243

第3章 矩阵的初等变换46

3.1 矩阵的秩46

3.2 矩阵的初等变换47

3.3 求解线性方程组的消元法49

3.4 初等矩阵53

3.5 分块初等矩阵及其应用57

习题359

第4章 向量组的线性相关性61

4.1 向量及其运算61

4.2 向量组的线性相关性63

4.2.1 线性相关与线性无关63

4.2.2 线性相关性的判别定理65

4.3 向量组的秩与极大无关组68

4.3.1 秩与极大无关组68

4.3.2 等价向量组69

4.4 向量空间70

4.4.1 向量空间的概念70

4.4.2 正交基72

4.5 线性方程组解的结构73

4.5.1 齐次线性方程组74

4.5.2 非齐次线性方程组75

4.5.3 三个平面的相对位置77

习题478

第5章 矩阵的相似变换81

5.1 特征值与特征向量81

5.2 相似对角化85

5.2.1 相似矩阵85

5.2.2 相似对角化86

5.3 实对称矩阵的相似矩阵90

5.3.1 实对称矩阵的特征值与特征向量90

5.3.2 正交矩阵91

5.3.3 实对称矩阵正交相似于对角矩阵91

习题594

第6章 二次型97

6.1 二次型及其矩阵表示97

6.2 化二次型为标准形99

6.2.1 正交变换法99

6.2.2 配方法102

6.2.3 初等变换法105

6.3 正、负定二次型107

6.3.1 惯性定理107

6.3.2 正、负定二次型109

6.3.3 多元函数极值的判定112

习题6114

第7章 多项式116

7.1 一元多项式及其运算116

7.1.1 一元多项式的概念116

7.1.2 多项式的运算116

7.2 整除的概念117

7.2.1 带余除法118

7.2.2 整除的概念119

7.3 最大公因式120

7.4 因式分解定理124

7.5 重因式126

7.6 多项式函数128

7.7 复系数与实系数多项式的因式分解130

7.7.1 复系数多项式的因式分解130

7.7.2 实系数多项式的因式分解130

7.8 有理系数多项式131

7.8.1 本原多项式131

7.8.2 整系数多项式的有理根132

7.8.3 有理系数多项式的因式分解133

7.9 多元多项式134

7.10 对称多项式137

7.10.1 对称多项式的概念与性质137

7.10.2 对称多项式的应用139

7.11 二元高次方程组141

7.11.1 结式141

7.11.2 二元高次方程组143

习题7144

第8章 λ-矩阵148

8.1 λ-矩阵的概念148

8.2 λ-矩阵的等价标准形150

8.3 不变因子153

8.4 初等因子157

8.5 矩阵相似的条件160

8.6 矩阵的Jordan标准形162

8.7 矩阵的有理标准形167

8.7.1 Frobenius标准形167

8.7.2 Jacobson标准形169

8.8 Hamilton-Cayley定理171

8.8.1 Hamilton-Cayley定理171

8.8.2 最小多项式173

习题8176

第9章 线性空间179

9.1 映射与变换179

9.2 线性空间的定义与基本性质181

9.3 基、维数与坐标183

9.3.1 线性相关性183

9.3.2 基与维数184

9.3.3 坐标185

9.4 基变换与坐标变换186

9.5 线性空间的同构189

9.6 线性子空间191

9.7 子空间的交、和与直和194

习题9197

第10章 线性映射200

10.1 线性映射的概念200

10.2 线性映射的值域与核202

10.3 线性映射的运算203

10.4 线性映射的矩阵206

10.5 化简线性变换的矩阵211

10.5.1 特征值与特征向量211

10.5.2 化简线性变换的矩阵215

10.6 不变子空间218

习题10219

第11章 欧氏空间222

11.1 欧氏空间的概念222

11.2 规范正交基226

11.3 正交子空间228

11.4 正交变换与对称变换230

11.4.1 正交变换230

11.4.2 对称变换234

11.5 广义逆矩阵236

11.5.1 广义逆矩阵的概念236

11.5.2 广义｛1｝-逆237

11.5.3 Moore-Penrose逆240

11.5.4 Moore-Penrose逆的应用243

习题11247

第12章 酉空间249

12.1 酉空间的概念249

12.2 酉相似下的标准形252

12.3 酉变换与Hermite变换258

12.4 Hermite二次型259

12.5 奇异值分解262

习题12265

第13章 双线性函数267

13.1 线性函数267

13.2 对偶空间268

13.3 双线性函数270

13.4 对称与反对称双线性函数273

习题13277

第14章 基本代数结构简介279

14.1 代数运算279

14.2 群及其基本性质280

14.2.1 群的定义281

14.2.2 群的基本性质282

14.2.3 子群283

14.3 环与域285

14.3.1 环与子环285

14.3.2 域和子域287

习题14288

习题答案与提示290

参考文献305