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第一部分 预备知识1

第一章 实轴R1，平面R2及空间R31

第一节 点，距离1

第二节 集合2

第三节 向量及其运算3

3.1 向量3

3.2 向量的线性运算3

3.3 向量的数量积和向量积4

3.4 向量的混合积4

3.5 用空间直角坐标系进行向量运算5

第二章 函数8

第一节 函数的定义与性质8

1.1 函数的定义8

1.2 函数的简单性质9

第二节 函数的运算10

第三节 基本初等函数与初等函数11

第四节 分段函数13

第三章 曲线与曲面15

第一节 平面15

第二节 直线16

第三节 点，直线，平面之间的关系17

3.1 点（x1，x2，x3）与点（y1，y2，y3）的关系17

3.2 点与平面的关系17

3.3 点（x0，y0，z0）与直线x-x1/l=y-y1/m=z-z1/n的关系17

3.4 两个空间平面的相互关系17

3.5 两条空间直线的相互关系18

3.6 直线与空间平面的关系18

第四节 空间曲面20

4.1 简单的二次曲面20

4.2 特殊空间曲面：柱面、旋转面、锥面方程21

第五节 曲线24

第四章 坐标系与坐标变换26

第一节 平面极坐标系26

第二节 空间柱坐标系28

第三节 空间球坐标系28

第二部分 微分学30

第五章 极限30

第一节 数列的极限30

1.1 数列｛xn｝＋∞n=130

1.2 数列的分类30

1.3 数列的子列｛x？｝？31

1.4 数列的运算—四则运算31

1.5 数列的极限31

1.6 数列极限运算性质32

1.7 数列收敛的证明方法33

1.8 数列极限不存在的证明方法38

1.9 数列极限的性质38

第二节 一元函数的极限39

2.1 一元函数极限的概念39

2.2 函数极限的运算性质40

2.3 函数极限的性质40

2.4 函数有极限的证明方法41

2.5 函数极限的计算方法41

第三节 多元函数的极限46

3.1 多元函数的极限定义46

3.2 多元函数的极限多样性46

3.3 多元函数的极限的运算性质47

3.4 多元函数的极限存在的证明47

第四节 函数的连续性及连续函数的性质48

4.1 函数在一点连续的概念48

4.2 一元函数的连续性48

4.3 有界闭区间上一元连续函数的性质51

4.4 有界闭区域上多元连续函数的性质52

第五节 近年考题53

第六章 一元函数的导数与微分56

第一节 一元函数导数与微分的定义56

1.1 导数的定义56

1.2 微分的定义57

1.3 导数的几何意义：切线的斜率57

第二节 一元函数导数的运算法则及初等函数的导数与微分60

2.1 导数的四则运算法则60

2.2 微分的四则运算法则60

2.3 复合函数求导60

2.4 初等函数的导数公式61

第三节 一元函数的高阶导数63

3.1 导函数63

3.2 高阶导数63

3.3 莱布尼茨公式64

第四节 近年考题66

第七章 多元函数的偏导数与全微分67

第一节 多元函数偏导数与全微分的定义67

1.1 二元函数偏导数67

1.2 全微分68

1.3 多元函数的方向导数71

1.4 多元函数的梯度71

1.5 偏导函数73

1.6 多元函数连续，偏导存在，可微以及偏导函数连续之间的关系73

1.7 高阶偏导数73

第二节 多元函数偏导的运算法则73

第三节 隐函数，反函数及参数函数的微分77

3.1 隐函数的求导77

3.2 反函数求导79

3.3 参数函数80

第四节 近年考题81

第八章 微分学的应用83

第一节 微分中值定理83

1.1 微分中值定理83

1.2 等式的证明83

1.3 不等式的证明84

1.4 存在性证明86

1.5 其他题目87

第二节 泰勒公式88

2.1 一元函数的泰勒公式88

2.2 常见函数的泰勒展开88

2.3 二元函数的二阶泰勒公式89

2.4 直接展开与间接展开89

2.5 泰勒展开的应用92

第三节 洛必达法则95

第四节 一元函数的性态97

4.1 基本概念97

4.2 一阶导数判断法97

4.3 二阶导数判别法98

4.4 渐近线98

4.5 曲线作图98

4.6 曲率与曲率半径98

第五节 多元函数的极值与最值104

5.1 基本概念104

5.2 极值点的必要条件104

5.3 极值点的充分条件104

5.4 多元函数的条件极值与最值106

第六节 几何应用113

6.1 平面曲线的切线与法线113

6.2 空间曲面的切平面与法线115

6.3 空间曲线的切线和法平面118

第七节 近年考题120

第三部分 积分123

第九章 一元函数的积分123

第一节 一元函数的不定积分123

1.1 基本概念123

1.2 不定积分的基本性质124

1.3 常见的积分公式124

1.4 不定积分的计算方法125

第二节 一元函数定积分的定义及性质133

2.1 定积分的定义133

2.2 定积分的性质134

第三节 变限积分定义的函数136

3.1 变限积分136

3.2 有关变限积分定义的函数的问题138

第四节 定积分的计算141

4.1 牛顿—莱布尼兹公式141

第五节 关于定积分的证明题147

5.1 等式问题147

5.2 不等式问题150

第六节 一元函数的广义积分155

6.1 基本概念155

6.2 非负函数的广义积分收敛性判断156

6.3 一般函数（可正负交错函数）的广义积分收敛性判断157

第七节 近年考题161

第十章 二重积分164

第一节 定义和性质164

1.1 二重积分的基本概念164

1.2 简单性质：对积分区域的可加性，线性性，保序性，估值性，中值定理164

第二节 二重积分的计算167

2.1 直角坐标系下二重积分的计算——化成累次积分167

2.2 在极坐标系下的二重积分化为二次积分170

第三节 近年考题171

第十一章 三重积分173

第一节 定义与性质173

1.1 三重积分的概念173

1.2 三重积分简单性质173

第二节 三重积分的计算174

2.1 三重积分在直角坐标系下的计算：累次积分法174

2.2 坐标变换：柱坐标系176

2.3 在球坐标系下的三重积分化为三次积分177

第十二章 积分的应用179

第一节 一元函数定积分的应用179

1.1 平面区域的面积179

1.2 曲线的弧长179

1.3 旋转体体积180

1.4 旋转曲面的表面积181

第二节 二重积分的应用181

2.1 空间曲面面积181

2.2 空间区域的体积182

2.3 质量中心问题183

第三节 三重积分的应用184

3.1 质量中心问题184

3.2 转动惯量问题184

3.3 万有引力问题184

第四节 近年考题185

第十三章 第一类曲线曲面积分187

第一节 第一类曲线积分187

1.1 第一类曲线积分的定义与性质187

1.2 第一类曲线积分的计算187

第二节 第一类曲面积分190

2.1 第一类曲面积分的定义与性质190

2.2 第一类曲面积分的计算190

第十四章 第二类曲线曲面积分193

第一节 第二类曲线积分193

1.1 第二类曲线积分的定义与性质193

1.2 第二类曲线积分的计算193

第二节 第二类曲面积分195

2.1 第二类曲面积分的定义与性质195

2.2 第二类曲面积分的计算196

第三节 场论198

3.1 数量值函数的梯度，向量值函数的散度和旋度198

3.2 三个基本公式：Green，Guass，Stokes公式199

3.3 计算问题200

3.4 平面曲线积分与路径无关的条件202

3.5 空间第二类曲线积分与路径无关204

第四节 近年考题205

第四部分 级数208

第十五章 常数项级数208

第一节 非负常数项级数208

1.1 基本概念208

1.2 级数的基本性质208

1.3 收敛性的判断209

第二节 一般常数项级数216

2.1 基本概念216

2.2 收敛级数的基本性质216

2.3 收敛性的判断216

第三节 近年考题220

第十六章 函数项级数222

第一节 函数项级数，幂级数222

1.1 函数项级数的基本概念222

1.2 幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域223

1.3 幂级数在其收敛区间内的基本性质225

1.4 初等函数的幂级数展开式226

1.5 幂级数的和函数229

第二节 傅里叶级数232

2.1 三角函数系｛1，cosnt，sinnt｜n=1，2，…｝是［—π，π］上的正交性232

2.2 周期函数的傅里叶（Fourier）系数与傅里叶级数232

2.3 半周期上定义的函数的延拓，正弦傅里叶级数，余弦傅里叶级数233

2.4 狄利克雷定理233

第三节 近年考题236

第五部分 常微分方程238

第十七章 一阶常微分方程238

第一节 基本概念238

第二节 一阶常微分方程求解239

2.1 变量可分离的方程求解239

2.2 可化成分离变量方程的方程240

2.3 一阶线性常微分方程求解241

2.4 可化为一阶线性常微分方程的方程242

2.5 全微分方程243

第三节 高阶可降阶类型方程的求解244

3.1 y（n）＝f（x）型方程244

3.2 y″＝f（x，y′）型方程244

3.3 y″＝f（y，y′）型方程245

第四节 近年考题247

第十八章 n阶线性微分方程249

第一节 解的性质及解的结构249

第二节 常系数齐次线性微分方程250

2.1 n阶线性常系数齐次方程的求解250

第三节 简单的二阶常系数非齐次线性微分方程252

第四节 常微分方程的应用256

第五节 近年考题259

第六部分 微积分的经济学应用260

第十九章 差分方程260

第一节 差分方程简介260

第二节 一阶线性常系数差分方程的解法及其应用261

第二十章 数学在经济学中的应用263

第一节 经济学中的函数263

第二节 微积分在经济学中的应用263

第三节 近年考题264