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数学文化与数学教育1

第一章 绪论2

1关于素质教育2

2美与真3

3数学是思维的工具4

4数学的特点5

5数学提供了有特色的思考方式6

6数学教育中的弊病与应对6

6.1数学教育中的弊病6

6.2数学教育中的应对7

7初等数学回顾8

8学习原则9

9数学与就业12

10当前数学科学发展的主要趋势13

初中文凭，独步中华——华罗庚14

第二章 数学与人类文明16

1自然数是万物之母16

1.1三个层次16

1.2古希腊的数学17

2数学与自然科学18

2.1宇宙的和谐18

2.2物理学22

2.3生命的奥秘23

3数学与人文科学25

3.1数学与西方宗教25

3.2数学与西方政治26

3.3人口论28

3.4统计方法29

3.5诺贝尔经济学奖与数学31

3.6选票分配问题32

一个叛逆的宇宙设计师——哥白尼34

风骨超常伦——伽利略34

宇宙的秩序——开普勒35

数学与艺术37

第三章 透视画与射影几何38

1绘画与透视38

1.1绘画体系38

1.2一个标准，两种风格39

1.3黄金分割39

1.4希腊的数学精神与裸体艺术43

1.5新的时代，新的艺术44

1.6引入第三维45

1.7郑板桥画竹46

1.8数学的引入47

1.9艺术家丢勒49

1.10数学定理49

1.11名画挂在什么地方51

1.12对透视体系的议论51

1.13完美的结合，艺术的顶峰52

1.14从艺术中诞生的科学55

性灵出万象——达·芬奇56

2射影几何浅窥57

2.1点列与线束的透视关系57

2.2椭圆、双曲线和抛物线作为圆周的投影59

2.3无穷远点的引入59

2.4射影平面60

2.5交比62

2.6调和比64

2.7含无穷远点的交比64

2.8四条直线的交比65

2.9对偶原理65

2.10三个美妙的定理66

直觉主义的先驱——帕斯卡68

第四章 音乐之声与傅里叶分析69

1音乐——听觉的艺术69

1.1送往天外的音乐69

1.2多维艺术70

2音律的确定70

2.1乐音体系70

2.2古希腊音律的确定71

2.3古代中国对音律的贡献72

2.4十二平均律74

3数学与音乐的进一步联系76

3.1梅森的定律76

3.2黄金分割与作曲76

3.3伟大的傅里叶77

4简谐振动与傅里叶分析78

4.1简谐振动78

4.2弹簧的振动78

4.3傅里叶的定理81

4.4调幅与调频84

4.5声学特性与艺术情趣86

4.6科学与艺术86

此时无声胜有声——傅里叶87

数学史88

第五章 漫步数学史89

1学点数学发展史89

1.1为什么要学点数学史？89

1.2四个质不同的时期90

1.3 20世纪以来数学科学发展的主要趋势93

2数学文明的发样94

2.1埃及——几何的故乡94

2.2巴比伦——代数的源头95

2.3印度——阿拉伯数字的诞生地97

第六章 现代文明的发源地——希腊99

1演绎数学的发祥100

1.1数学精神的诞生100

1.2泰勒斯的贡献101

2毕达哥拉斯学派101

2.1自然数是万物之母101

2.2毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献102

2.3第一次数学危机106

2.4第一次数学危机的消除108

2.5几何作主导109

3希腊的几何学110

3.1亚历山大时期110

3.2欧几里得的《几何原本》110

3.3正多边形作图111

3.4五种正多面体111

3.5多面体与宇宙观114

3.6圆锥曲线115

4亚历山大时期的数学115

4.1数学在新时期的特点——同哲学断了交，同工程结了盟115

4.2主要数学成果概述116

5阿基米德的平衡法119

5.1穷竭法119

5.2阿基米德的平衡法119

6柏拉图与亚里士多德论数学121

6.1赏心而不悦目122

6.2自然界是一个真实的世界122

练习题123

独占鳌头两千年——欧几里得124

第七章 大哉，中华——中国数学史125

1两汉时期的数学126

1.1《周髀算经》与勾股定理126

1.2《九章算术》126

2魏晋、南北朝时期的数学130

2.1刘徽的数学成就130

2.2百鸡问题131

2.3祖冲之父子的贡献132

2.4中国古代的代数134

3宋元时期的数学134

3.1贾宪三角和增乘开方法134

3.2秦九韶与大衍求一术135

3.3天元术与四元术136

3.4高阶等差级数与内插法137

3.5古代数学发展的停滞139

割圆人间细，方盖宇宙精——刘徽139

领先世界一千年——祖冲之140

第八章文艺复兴后的数学141

1数学的新进展141

1.1阿拉伯的数学141

1.2对数的认识141

1.3符号体系142

2解析几何143

2.1笛卡儿的两个概念143

2.2解析几何的伟大意义144

2.3解析几何解决的主要问题145

3微积分的诞生147

3.1不可分素方法147

3.2微分学的早期史149

3.3巴罗的贡献150

3.4前期史小结150

3.5微积分的诞生151

3.6牛顿与莱布尼茨对微积分的贡献151

3.7微积分诞生的意义152

3.8牛顿革命153

3.9决定论的世界观154

4第二次数学危机155

4.1英雄世纪155

4.2第二次数学危机155

4.3柯西的功绩157

4.4外尔斯特拉斯的规划157

我站在巨人们的肩上——牛顿159

微积分的创始者，数理逻辑的奠基人——莱布尼茨160

数学分析的奠基人——柯西161

大器晚成——外尔斯特拉斯161

第九章 来自几何学的思想163

1欧氏几何回顾163

1.1欧氏几何的历史地位163

1.2几何学在数学教育中的地位163

1.3演绎法的基本特色164

1.4欧氏几何的内容165

1.5几何学的进一步发展166

2非欧几何168

2.1非欧几里得几何的诞生168

2.2黎曼的非欧几何169

2.3从宇宙飞船上看地球169

2.4球面几何170

2.5双曲几何的模型170

3几何学的分类172

3.1三种几何学的异同172

3.2非欧几何诞生的意义173

3.3爱尔兰根纲领174

3.4老子的哲学174

几何学中的哥白尼——罗巴切夫斯基175

深邃的几何学家——B.黎曼176

数学方法论177

第十章 几何三大难题178

1问题的提出和解决178

1.1数学的心脏178

1.2希腊古典时期数学发展的路线178

1.3几何作图三大问题179

1.4问题的来源179

1.5“规”和“矩”的规矩179

1.6问题的解决180

2放弃“规矩”之后180

2.1帕普斯的方法180

2.2阿基米德的方法181

2.3时钟也会三等分任意角182

2.4达·芬奇的化圆为方182

3从几何到代数182

3.1用直尺圆规可以作什么图182

3.2域的定义184

3.3可构造数域185

3.4进一步的讨论186

3.5可作图的数都是代数数188

4几个代数定理188

4.1根与系数的关系188

4.2 3次方程的根190

5几何作图三大问题的解192

5.1倍积问题192

5.2三等分任意角192

5.3化圆为方193

练习题193

第十一章 数学方法漫谈（1）194

1演绎法194

2类比法195

2.1描述196

2.2说理196

2.3发现新定理197

2.4蘑菇是丛生的201

2.5类比推理与人工智能201

3归纳与数学归纳法201

3.1归纳与数学归纳法201

3.2等周定理的证明204

3.3归纳思维的新进展206

练习题206

分析的化身——欧拉207

第十二章 数学方法漫谈（2）209

1笛卡儿的研究方法209

1.1笛卡儿的方法论209

1.2如何化繁为简210

1.3特殊化与一般化210

1.4更上一层楼212

1.5猜测213

1.6类比是认识高维空间的必由之路214

2孙子定理与插值理论214

2.1孙子定理214

2.2插值理论218

2.3求和公式219

3小结219

一宵奇梦定终生——笛卡儿220

学好微积分222

第十三章 实数理论224

1有理数224

1.1有序性224

1.2有理数的稠密性224

1.3对四则运算的封闭性225

1.4有理数系对极限运算不封闭225

2实数理论227

2.1微积分立论的基础227

2.2戴德金分划228

2.3实数的性质229

2.4实数集合的有序化230

2.5实数集合的连续性231

2.6确界定理232

第十四章 极限论233

1极限定义及运算233

1.1序列的极限233

1.2序列极限的四则运算234

2两个重要定理235

2.1区间套定理235

2.2有限覆盖定理235

3收敛原理236

3.1子序列236

3.2收敛原理237

第十五章 函数及其连续性239

1基本概念239

1.1函数定义239

1.2单调函数239

1.3反函数240

2初等函数241

2.1基本初等函数241

2.2复合函数与初等函数245

2.3函数概念发展史245

3函数的连续性246

3.1函数的极限246

3.2单边极限247

3.3连续函数248

3.4连续函数的最大值、最小值定理248

3.5函数的一致连续性250

3.6反函数的连续性252

第十六章 微分学253

1导数的引入253

1.1切线斜率253

1.2瞬时速度254

1.3导数概念254

1.4可导与连续255

2导数的计算256

2.1导数的四则运算256

2.2链锁法则256

2.3高阶导数256

2.4基本初等函数求导公式257

3基本定理257

3.1函数的局部极值257

3.2拉格朗日中值定理259

4微分260

4.1微分定义261

4.2微分公式261

4.3基本初等函数微分表262

4.4微分的应用262

4.5论导数与微分263

第十七章 积分学265

1不定积分265

1.1基本概念265

1.2不定积分的运算法则266

1.3基本初等函数的不定积分表267

1.4第一换元积分法267

1.5第二换元积分法268

1.6分部积分法269

2定积分270

2.1面积问题270

2.2作为和的极限的面积271

2.3定积分的定义272

2.4定积分的几何意义273

3定积分的性质274

3.1定积分的简单性质274

3.2定积分中值定理275

4可积性研究276

4.1可积性的必要条件276

4.2达布和276

4.3达布和的简单性质277

4.4积分存在的条件278

4.5定积分存在定理278

5微积分基本定理279

6定积分的换元积分法与分部积分法281

6.1换元积分法281

6.2分部积分法282

7再论微分学与积分学282

7.1微分学282

7.2积分学283

第十八章 回顾与展望285

1第三次数学危机285

1.1对数学基础的探讨285

1.2什么是悖论？285

1.3悖论与艺术286

2数学基础287

2.1逻辑主义287

2.2直觉主义288

2.3形式主义288

3哥德尔的不完全性定理289

4新的黄金时代290

5数学家及其活动与数学社团的成立291

5.1数学家及其活动291

5.2数学社团的成立292

6两个大奖：菲尔兹奖和沃尔夫奖293

6.1菲尔兹奖293

6.2沃尔夫奖295

7希尔伯特问题与20世纪的数学295

8七加一数学奖问题296

8.1克莱数学促进会296

8.2千禧年悬赏数学问题简介297

8.3另一个价值百万的数学之谜297

自在如神之笔，凌云迈往之气——庞加莱298

永远的不完全——哥德尔299

参考书目300