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第1篇 计算方法1

1 绪论1

1.1计算方法的对象与特点1

1.2误差的来源及误差的基本概念1

1.2.1误差的来源1

1.2.2绝对误差与绝对误差限2

1.2.3相对误差与相对误差限2

1.2.4有效数字3

1.2.5数据误差的影响4

1.3.2机器数系6

1.3.1数的浮点表示6

1.3机器数系6

1.3.3机器数的相对误差限8

1.4误差危害的防止8

1.4.1使用数值稳定的计算公式8

1.4.2尽量避免两相近数相减11

1.4.3尽量避免用绝对值很大的数作乘数12

1.4.4防止大数“吃掉”小数12

1.4.5注意简化计算步骤，减少运算次数12

小结14

复习思考题14

习题115

2.1问题的提出17

2方程求根17

2.2二分法18

2.3迭代法20

2.3.1迭代格式的构造及其敛散性条件20

2.3.2迭代法的局部收敛性26

2.3.3迭代法的收敛速度27

2.3.4埃特金加速法29

2.4牛顿法与割线法31

2.4.1牛顿迭代公式31

2.4.2局部收敛性32

2.4.3大范围收敛性34

2.4.4割线法36

2.5代数方程求根的劈因子法37

2.6应用实例：任一平面与螺旋线全部交点的计算40

2.6.1数学模型40

2.6.2关于交点个数的讨论41

2.6.3根的求法44

2.6.4根的个数趋于无穷时的“实时”求交点方法46

小结47

复习思考题47

习题247

3线性方程组数值解法50

3.1问题的提出50

3.2.1三角方程组的解法51

3.2消去法51

3.2.2高斯消去法52

3.2.3追赶法57

3.2.4列主元高斯消去法58

3.3矩阵的直接分解及其在解方程组中的应用60

3.3.1矩阵分解的紧凑格式60

3.3.2改进平方根法64

3.3.3列主元三角分解法66

3.4 向量范数和矩阵范数68

3.4.1 向量范数68

3.4.2矩阵范数69

3.5.1迭代法及其收敛性71

3.5迭代法71

3.5.2雅可比迭代法75

3.5.3高斯－赛德尔迭代法77

小结79

复习思考题80

习题381

4插值法84

4.1 问题的提出84

4.1.1插值函数的概念84

4.1.2插值多项式的存在唯一性85

4.2.1基本插值多项式86

4.2拉格朗日插值多项式86

4.2.2拉格朗日插值多项式87

4.2.3插值余项88

4.2.4一类带导数插值条件的插值91

4.3差商、差分及牛顿插值多项式92

4.3.1差商及牛顿插值多项式93

4.3.2差分及等距节点插值公式97

4.4 高次插值的缺点及分段插值100

4.4.1 高次插值的误差分析100

4.4.2分段线性插值101

4.4.3分段二次插值103

4.5样条插值函数104

4.5.1三次样条插值函数105

4.5.2三次样条插值函数的求法105

4.6应用实例：丙烷导热系数的计算110

小结112

复习思考题112

习题4113

5曲线拟合115

5.1最小二乘原理115

5.2超定方程组的最小二乘解121

5.3应用实例：价格、广告与赢利123

复习思考题126

习题5126

小结126

6数值积分与数值微分128

6.1数值积分问题的提出128

6.2插值型求积公式129

6.2.1插值型求积公式129

6.2.2梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式130

6.2.3插值型求积公式的截断误差与代数精度131

6.2.4梯形公式、辛卜生公式和柯特斯公式的截断误差133

6.3复化求积公式135

6.3.1复化梯形公式135

6.3.2复化辛卜生公式136

6.3.3复化柯特斯公式137

6.3.4复化求积公式的阶139

6.3.5步长的自动选择139

6.4龙贝格求积公式140

6.5高斯求积公式简介145

6.6重积分的计算148

6.7数值微分151

6.7.1数值微分问题的提出151

6.7.2插值型求导公式及截断误差152

6.8应用实例：椭圆轨道长度的计算155

复习思考题157

小结157

习题6158

7常微分方程数值解法160

7.1问题的提出160

7.2欧拉方法160

7.2.1欧拉公式160

7.2.2梯形公式163

7.2.3改进欧拉公式164

7.2.4整体截断误差166

7.3龙格－库塔方法167

7.3.1龙格－库塔方法的基本思想167

7.3.2二阶龙格－库塔公式168

7.3.3高阶龙格－库塔公式169

7.4线性多步法173

7.4.1阿当姆斯内插公式174

7.4.2阿当姆斯外推公式175

7.4.3阿当姆斯预测校正公式176

7.5一阶方程组与高阶方程178

7.5.1一阶方程组178

7.5.2化高阶方程为一阶方程组179

7.6应用实例：摆球振动181

小结183

复习思考题184

习题7184

8.1问题的提出187

8矩阵的特征值及特征向量的计算187

8.2按模最大与最小特征值的求法188

8.2.1幂法188

8.2.2反幂法194

8.3计算实对称矩阵特征值的雅可比法195

8.4 QR方法204

8.4.1矩阵A的QR分解204

8.4.2 QR算法207

小结208

复习思考题209

习题8209

1.1舍入误差与数值稳定性211

第2篇 计算实习211

1舍入误差与数值稳定性211

实习题1215

2方程求根216

2.1二分法216

2.2牛顿迭代法219

实习题2223

3线性方程组数值解法224

3.1列主元高斯消去法224

3.2矩阵直接三角分解法227

3.3迭代法230

3.3.1雅可比迭代法230

3.3.2高斯－赛德尔迭代法233

实习题3236

4插值法239

4.1拉格朗日插值多项式239

4.2 牛顿插值多项式241

实习题4243

5曲线拟合244

5.1最小二乘法244

实习题5248

6数值积分249

6.1复化梯形公式与复化辛卜生公式的自适应算法249

6.1.1复化辛卜生公式249

6.1.2 自适应梯形公式251

6.2龙贝格算法254

实习题6257

7常微分方程数值解法258

7.1改进欧拉方法258

7.2龙格－库塔方法261

7.3阿当姆斯方法263

实习题7267

8矩阵的特征值与特征向量的计算268

8.1幂法268

实习题8271

实习题参考答案272

参考文献276