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第一章 数学之魂1

第一节 数学的对象与内容3

1.1.1数与形——万物之本4

1.1.2结构与模式——万物之理4

第二节 数学的方法与特点10

1.2.1数学理论的建立方式10

1.2.2数学的思考方式13

1.2.3数学的特点及其对人的素质的影响14

第二章 数学之功18

第一节 数学的功能19

2.1.1数学的实用功能19

2.1.2数学的教育功能19

2.1.3数学的语言功能20

2.1.4数学的文化功能21

第二节 数学的价值22

2.2.1数学与个人成长22

2.2.2数学与人类生活26

2.2.3数学与科技发展28

2.2.4数学与社会进步29

第三章 数学之旅31

第一节 数学的分类32

3.1.1从历史看数学32

3.1.2从对象与方法看数学34

第二节 数学分支发展概况36

3.2.1几何学通论36

3.2.2代数学大观40

3.2.3分析学大意43

3.2.4随机数学一瞥46

3.2.5模糊数学概览48

3.2.6可拓学——中国人自己创立的新学科48

第三节 数学形成与发展的因素与轨迹50

3.3.1数学形成与发展的因素50

3.3.2数学发展的轨迹51

第四章 数学之美52

第一节 数学、哲学与美学53

4.1.1数学与哲学53

4.1.2美学、美的本质与特征54

4.1.3数学美的根源55

4.1.4数学美的基本特征55

第二节 数学方法之美59

4.2.1认识论的飞跃——以有限认识无限59

4.2.2演绎法之美——以简单论证复杂61

4.2.3类比法之美——他山之石，可以攻玉61

4.2.4此处无形胜有形——存在性问题的证明62

4.2.5从低级数学到高级数学——一览众山小63

第三节 数学结论之美65

4.3.1三角形之美与正多面体66

4.3.2圆形之美与三角函数72

4.3.3矩形之美与黄金分割80

4.3.4自然对数的底与五个重要常数88

4.3.5方圆合一，自然规律93

第五章 数学之趣96

第一节 勾股定理与勾股数趣谈97

5.1.1千古第一定理——勾股定理97

5.1.2从几何观点看勾股定理99

5.1.3从代数观点看勾股定理——勾股数与不定方程101

5.1.4勾股数的特殊性质104

第二节 悖论及其对数学发展的影响107

5.2.1悖论的定义与起源107

5.2.2悖论对数学发展的影响——三次数学危机110

5.2.3几种常见悖论116

5.2.4如何看待悖论121

第三节 数学与游戏123

5.3.1一种民间游戏——“取石子”124

5.3.2改变一下游戏规则124

5.3.3用二进制来解决126

5.3.4“取石子”的变种——“躲30”游戏127

5.3.5结语128

第六章 数学之妙129

第一节 数学归纳法原理130

6.1.1数学归纳法及其理论基础130

6.1.2数学归纳法的变形132

6.1.3归纳法在几何上的一个应用——两色定理135

6.1.4归纳法趣谈135

第二节抽屉原理与聚会认友137

6.2.1抽屉原理的简单形式137

6.2.2聚会问题139

6.2.3抽屉原理与计算机算命141

6.2.4抽屉原理的推广形式141

第三节 七桥问题与图论143

6.3.1七桥问题143

6.3.2图与七桥问题的解决——一笔画定理144

6.3.3图的其他基本概念与图的简单应用145

第四节 数学与密码148

6.4.1密码的由来148

6.4.2密码联络原理与加密方法149

6.4.3 RSA编码方法与原理150

第七章 数学之奇153

第一节 实数系统154

7.1.1数系扩充概述154

7.1.2有理数域Q157

7.1.3实数域R161

7.1.4认识超穷数162

第二节三种几何并存166

7.2.1泰勒斯——推理几何学的鼻祖166

7.22欧几里得几何167

7.2.3第五公设的疑问169

7.2.4第一种非欧几何——罗巴切夫斯基几何170

7.2.5第二种非欧几何——黎曼几何172

7.2.6三种几何学的模型与结论对比173

7.2.7非欧几何产生的重大意义175

第三节 河图、洛书与幻方176

7.3.1幻方起源177

7.3.2幻方分类177

7.3.3幻方构造178

7.3.4幻方欣赏181

第八章 数学之问184

第一节 古代几何作图三大难题186

8.1.1诡辩学派与几何作图186

8.1.2三个传说187

8.1.3三大作图难题的解决189

8.1.4“不可能”与“未解决”190

8.1.5放宽作图工具191

8.1.6两千年历史的启示193

第二节 费马大定理194

8.2.1费马与费马猜想194

8.2.2无穷递降法：n＝3、4的费马大定理证明195

8.2.3第一次重大突破与悬赏征解198

8.2.4第二次重大突破198

8.2.5费马大定理的最后证明199

8.2.6费马大定理的推广200

第三节 哥德巴赫猜想202

8.3.1数的分解与分拆问题202

8.3.2哥德巴赫猜想203

8.3.3哥德巴赫猜想的研究204

8.3.4陈氏定理206

8.3.5附记207

第四节 四色猜想208

8.4.1四色猜想的来历208

8.4.2艰难历程百余年209

8.4.3欧拉公式211

8.4.4五色定理的证明213

第五节 庞加莱猜想215

8.5.1百年猜想216

8.5.2从空间维数谈起216

8.5.3拓扑学218

8.5.4庞加莱猜想219

8.5.5进展220

8.5.6佩雷尔曼的重大突破221

8.5.7瑟斯顿几何化猜想221

8.5.8哈密尔顿的Ricci流222

8.5.9一个完整的证明223

第六节 七个千禧年数学难题及其他224

8.6.1 Riemann猜想（Riemann假设）224

8.6.2 Poincare猜想225

8.6.3 P对NP问题225

8.6.4 Hodge猜想226

8.6.5 Yang-Mills场的存在性和质量缺口226

8.6.6 Navier-Stokes方程的存在性与光滑性227

8.6.7 Birch和Swinnerton-Dyer猜想227

8.6.8两个数论难题227

附录A国际性数学奖简介229

附录B国际性数学奖一览表232

附录C人名索引233

主要参考文献238