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第一部分 高等数学3

第一章 函数 极限 连续3

大纲解读3

考试内容3

考试要求3

大纲知识点精解3

1 函数3

考点梳理3

一、基本概念3

二、重要性质、公式与结论6

例题解析7

题型一 求函数的定义域与函数表达式7

题型二 函数的性质8

2 极限9

考点梳理9

一、基本概念9

二、重要性质、公式与结论11

例题解析14

题型一 求函数极限14

题型二 求数列极限19

题型三 无穷小的比较22

题型四 已知极限或无穷小求待定参数24

3 函数的连续与间断25

考点梳理25

一、基本概念25

二、重要性质、公式与结论26

例题解析27

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断27

题型二 分段函数的连续性28

题型三 由极限定义的函数的连续性29

题型四 连续函数的零点问题30

题型五 综合题31

习题精选与预测32

第二章 一元函数微分学36

大纲解读36

考试内容36

考试要求36

大纲知识点精解37

1 导数与微分37

考点梳理37

一、基本概念37

二、重要性质、公式与结论38

例题解析38

题型一 利用导数与微分的定义解题38

题型二 可微、可导、连续与极限的关系41

题型三 导数的物理、几何应用41

2 导数的计算42

考点梳理42

重要性质、公式与结论42

例题解析44

题型一 利用导数公式与运算法则求导44

题型二 求分段函数导数或微分45

题型三 幂指函数的导数或微分46

题型四 由参数方程确定的函数的导数47

题型五 隐函数求导47

题型六 求n阶导数47

3 利用导数研究函数性态49

考点梳理49

一、基本概念49

二、重要定理、性质与公式50

例题解析51

题型一 求曲率与曲率半径51

题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值52

题型三 函数的凹凸性与拐点53

题型四 求曲线的切线、法线和渐近线55

题型五 综合题56

4 微分中值定理、零点问题与不等式证明58

考点梳理58

重要性质、公式与结论58

例题解析60

题型一 函数零点的存在性与个数问题60

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题62

题型三 拉格朗日中值定理与带拉格朗日余项的泰勒公式及其应用64

题型四 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题65

题型五 不等式证明66

习题精选与预测68

第三章 一元函数积分学73

大纲解读73

考试内容73

考试要求73

大纲知识点精解73

1 不定积分和定积分的概念与性质73

考点梳理73

一、基本概念73

二、重要性质、公式与结论74

例题解析76

2 不定积分与定积分的计算78

考点梳理78

重要性质、公式与结论78

例题解析80

题型一 有理函数的积分80

题型二 无理函数的积分80

题型三 三角函数的积分81

题型四 乘积的混合式积分83

题型五 分段函数与绝对值函数的积分85

题型六 变限积分问题86

3 反常积分88

考点梳理88

一、基本概念88

二、重要性质、公式与结论89

例题解析91

题型一 反常积分的计算91

题型二 判定反常积分的敛散性92

4 定积分的应用93

考点梳理93

重要性质、公式与结论93

例题解析95

题型一 几何应用95

题型二 物理应用98

5 定积分的证明题99

例题解析99

题型一 等式的证明99

题型二 不等式的证明100

习题精选与预测102

第四章 向量代数和空间解析几何113

大纲解读113

考试内容113

考试要求113

大纲知识点精解113

1 向量代数113

考点梳理113

一、基本概念113

二、重要性质、公式与结论115

例题解析115

2 空间平面方程与空间直线方程116

考点梳理116

一、基本概念116

二、重要性质、公式与结论117

例题解析119

题型一 求空间的平面方程119

题型二 求空间的直线方程120

题型三 点、直线、平面间的关系121

3 空间曲面方程与空间曲线方程122

考点梳理122

一、基本概念122

二、重要性质、公式与结论123

例题解析123

题型一 旋转面与柱面方程123

题型二 投影方程124

习题精选与预测125

第五章 多元函数微分学128

大纲解读128

考试内容128

考试要求128

大纲知识点精解128

1 多元函数的极限与连续性128

考点梳理128

一、基本概念128

二、重要性质、公式与结论129

例题解析130

题型一 二元函数的概念130

题型二 二元函数的极限130

2 偏导数与全微分131

考点梳理131

一、基本概念131

二、重要性质、公式与结论132

例题解析132

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算132

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系134

3 多元函数求导法则137

考点梳理137

重要性质、定理与公式137

例题解析138

题型一 求复合函数的偏导数与全微分138

题型二 求隐函数的偏导数与全微分142

4 多元函数微分学的几何应用146

考点梳理146

一、基本概念146

二、重要性质、定理与公式147

例题解析148

题型一 空间曲线与空间曲面148

题型二 求方向导数与梯度149

5 多元函数的极值与最值150

考点梳理150

一、基本概念150

二、重要性质、定理与公式150

例题解析151

题型一 求解多元函数的无条件极值151

题型二 求解多元函数的条件极值154

题型三 求解多元函数的最值155

习题精选与预测160

第六章 多元函数积分学165

大纲解读165

考试内容165

考试要求165

大纲知识点精解165

1 二重积分165

考点梳理165

一、基本概念165

二、重要性质、公式与结论166

例题解析169

题型一 二重积分的概念和性质169

题型二 直角坐标和极坐标下二重积分的计算169

题型三 二次积分交换积分次序175

题型四 利用对称性计算二重积分177

2 三重积分180

考点梳理180

一、基本概念180

二、重要性质、公式与结论180

例题解析183

题型一 直角坐标系下三重积分的计算183

题型二 柱坐标系下三重积分的计算183

题型三 球坐标系下三重积分的计算184

3 曲线积分185

考点梳理185

一、基本概念185

二、重要性质、公式与结论186

例题解析188

题型一 第一类曲线积分188

题型二 第二类曲线积分与格林公式的应用190

4 曲面积分193

考点梳理193

一、基本概念193

二、重要性质、公式与结论194

例题解析196

题型一 第一类曲面积分196

题型二 第二类曲面积分与高斯公式的应用198

题型三 斯托克斯公式的应用201

5 散度与旋度202

考点梳理202

基本概念202

例题解析203

6 多元函数积分学的几何、物理应用203

考点梳理203

重要定理、公式与性质203

例题解析204

题型一 几何应用204

题型二 物理应用205

习题精选与预测209

第七章 无穷级数214

大纲解读214

考试内容214

考试要求214

大纲知识点精解215

1 常数项级数及其敛散性215

考点梳理215

一、基本概念215

二、重要性质、公式与结论216

例题解析218

题型一 级数的概念与敛散性218

题型二 正向级数的敛散性判定219

题型三 交错级数的敛散性判定221

题型四 任意项级数的敛散性判定222

2 幂级数223

考点梳理223

一、基本概念223

二、重要性质、公式与结论223

例题解析225

题型一 幂级数的收敛区间与收敛域225

题型二 幂级数与常数项级数求和228

题型三 函数的幂级数展开式231

3 傅里叶级数234

考点梳理234

一、基本概念234

二、重要性质、公式与结论235

例题解析236

题型一 函数的傅里叶级数展开236

题型二 傅里叶级数的收敛性237

习题精选与预测239

第八章 微分方程244

大纲解读244

考试内容244

考试要求244

大纲知识点精解244

1 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法244

考点梳理244

一、基本概念244

二、重要定理、性质与公式245

例题解析247

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解247

题型二 一阶线性方程与伯努利方程的求解248

题型三 全微分的求解250

题型四 可降解的高阶微分方程的求解252

2 高阶线性微分方程254

考点梳理254

一、基本概念254

二、重要定理、性质与公式254

例题解析256

题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定256

题型二 求解二阶线性微分方程257

题型三 求解欧拉方程258

3 微分方程的应用259

考点梳理259

重要定理、性质与公式259

例题解析259

习题精选与预测265

第二部分 线性代数271

第一章 行列式271

大纲解读271

考试内容271

考试要求271

大纲知识点精解271

考点梳理271

一、基本概念271

二、重要性质、公式与结论272

例题解析274

题型一 行列式的概念及性质274

题型二 数字型行列式的计算276

题型三 抽象行列式的计算280

题型四 有关｜A｜＝0的证明281

习题精选与预测282

第二章 矩阵285

大纲解读285

考试内容285

考试要求285

大纲知识点精解285

1 矩阵的概念及运算285

考点梳理285

一、基本概念285

二、重要性质、公式与结论287

2 可逆矩阵与伴随矩阵288

考点梳理288

一、基本概念288

二、重要性质、公式与结论288

3 矩阵的初等变换290

考点梳理290

一、基本概念290

二、重要性质、公式与结论290

4 分块矩阵291

考点梳理291

一、基本概念291

二、重要性质、公式与结论291

例题解析292

题型一 矩阵的概念及运算292

题型二 求方阵的幂293

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算296

题型四 伴随矩阵298

题型五 矩阵的初等变换300

题型六 分块矩阵301

题型七 求解矩阵方程303

习题精选与预测307

第三章 向量311

大纲解读311

考试内容311

考试要求311

大纲知识点精解311

1 向量与向量组的线性相关性311

考点梳理311

一、基本概念311

二、重要定理、性质与公式312

例题解析313

题型一 线性相关性的判别与证明313

题型二 向量与向量组的线性表出316

2 极大线性无关组与向量组的秩320

考点梳理320

一、基本概念320

二、重要定理、性质与公式320

例题解析321

题型一 矩阵的秩321

题型二 向量组的秩与极大线性无关组322

题型三 向量组的等价324

3 向量空间326

考点梳理326

一、基本概念326

二、重要定理、性质与公式327

例题解析328

题型一 向量空间的基本概念328

题型二 过渡矩阵与坐标变换329

题型三 正交矩阵与正交化331

习题精选与预测332

第四章 线性方程组337

大纲解读337

考试内容337

考试要求337

大纲知识点精解337

1 齐次线性方程组337

考点梳理337

一、基本概念337

二、重要性质、公式与结论338

2 非齐次线性方程组340

考点梳理340

一、基本概念340

二、重要性质、公式与结论340

例题解析341

题型一 线性方程组解的判定、性质及结构341

题型二 求解齐次线性方程组345

题型三 求解非齐次线性方程组348

题型四 两方程组的公共解与同解问题357

习题精选与预测361

第五章 矩阵的特征值和特征向量365

大纲解读365

考试内容365

考试要求365

大纲知识点精解365

1 特征值与特征向量365

考点梳理365

一、基本概念365

二、重要性质、公式与结论366

例题解析367

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量367

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量370

题型三 特征值与特征向量的逆问题372

题型四 有关特征值与特征向量的证明题374

2 相似矩阵及矩阵的相似对角化376

考点梳理376

一、基本概念376

二、重要性质、公式与结论376

例题解析377

题型一 相似矩阵的性质及其判定377

题型二 方阵的对角化问题380

3 实对称矩阵及其相似对角化384

考点梳理384

一、基本概念384

二、重要性质、公式与结论384

例题解析385

题型一 实对称矩阵的性质385

题型二 实对称矩阵的对角化390

习题精选与预测393

第六章 二次型397

大纲解读397

考试内容397

考试要求397

大纲知识点精解397

1 二次型的定义、矩阵表示397

考点梳理397

基本概念397

2 化二次型为标准形和规范形398

考点梳理398

一、基本概念398

二、重要性质、公式与结论399

3 合同矩阵400

考点梳理400

一、基本概念400

二、重要性质、公式与结论400

4 正定二次型与正定矩阵400

考点梳理400

一、基本概念400

二、重要性质、公式与结论400

例题解析401

题型一 二次型的基本概念401

题型二 线性变换403

题型三 化二次型为标准形和规范形404

题型四 矩阵的合同410

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明412

习题精选与预测416

第三部分 概率论与数理统计421

第一章 随机事件和概率421

大纲解读421

考试内容421

考试要求421

大纲知识点精解421

1 随机事件的关系与运算421

考点梳理421

一、基本概念421

二、重要定理、性质与公式422

例题解析423

2 随机事件的概率425

考点梳理425

一、基本概念425

二、重要定理、性质与公式426

例题解析426

题型一 概率的基本性质426

题型二 古典概型与几何概型428

题型三 条件概率429

题型四 全概率公式与贝叶斯公式430

3 事件的独立性与独立重复试验432

考点梳理432

一、基本概念432

二、重要定理、性质与公式433

例题解析433

题型一 事件的独立性433

题型二 伯努利概型435

习题精选与预测436

第二章 随机变量及其分布439

大纲解读439

考试内容439

考试要求439

大纲知识点精解439

1 随机变量及其分布函数439

考点梳理439

一、基本概念439

二、重要定理、性质与公式440

例题解析440

2 离散型与连续型随机变量443

考点梳理443

一、基本概念443

二、重要定理、性质与公式443

例题解析446

题型一 离散型随机变量及其分布律446

题型二 连续型随机变量及其概率密度447

题型三 随机变量的常见分布449

3 随机变量函数的分布451

考点梳理451

例题解析452

习题精选与预测455

第三章 多维随机变量及其分布459

大纲解读459

考试内容459

考试要求459

大纲知识点精解459

1 二维随机变量及其分布459

考点梳理459

一、基本概念459

二、重要性质、公式与结论461

例题解析462

题型一 离散型随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布462

题型二 连续型随机变量的联合分布、边缘分布与条件分布465

2 二维随机变量的独立性468

考点梳理468

一、基本概念468

二、重要性质、公式与结论469

例题解析469

3 二维均匀分布与二维正态分布472

考点梳理472

一、基本概念472

二、重要性质、公式与结论472

例题解析473

4 随机变量函数的分布476

考点梳理476

一、基本概念476

二、重要性质、公式与结论476

例题解析478

习题精选与预测488

第四章 随机变量的数字特征491

大纲解读491

考试内容491

考试要求491

大纲知识点精解491

1 随机变量的数学期望和方差491

考点梳理491

一、基本概念491

二、重要性质、公式与结论492

例题解析493

题型一 随机变量期望与方差的概念与计算493

题型二 随机变量函数的期望与方差497

题型三 几种常见分布的期望与方差501

2 协方差与相关系数503

考点梳理503

一、基本概念503

二、重要性质、公式与结论504

例题解析505

题型一 协方差与相关系数的计算505

题型二 相关性与独立性的判定508

3 随机变量的矩511

考点梳理511

基本概念511

例题解析511

习题精选与预测512

第五章 大数定律与中心极限定理515

大纲解读515

考试内容515

考试要求515

大纲知识点精解515

1 大数定律515

考点梳理515

重要性质、公式与结论515

2 中心极限定理516

考点梳理516

重要性质、公式与结论516

例题解析517

题型一 切比雪夫不等式与大数定律517

题型二 中心极限定理519

习题精选与预测522

第六章 数理统计的基本概念525

大纲解读525

考试内容525

考试要求525

大纲知识点精解525

1 随机样本525

考点梳理525

一、基本概念525

二、重要性质、公式与结论526

2 统计量及其分布526

考点梳理526

一、基本概念526

二、重要性质、公式与结论526

例题解析530

题型一 统计量及其数字特征530

题型二 统计量的分布535

习题精选与预测538

第七章 参数估计541

大纲解读541

考试内容541

考试要求541

大纲知识点精解541

1 点估计与估计量的评价标准541

考点梳理541

一、基本概念541

二、重要定理、性质与公式542

例题解析543

题型一 矩估计和最大似然估计543

题型二 估计量的评价标准546

2 区间估计551

考点梳理551

一、基本概念551

二、重要定理、性质与公式551

例题解析552

习题精选与预测553

第八章 假设检验556

大纲解读556

考试内容556

考试要求556

大纲知识点精解556

考点梳理556

一、基本概念556

二、重要性质、公式与结论557

例题解析557

习题精选与预测558

附录560

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题560

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题解析563

后记577