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第九章 常微分方程初值问题的数值解法1

1 引言1

1.1 基本知识复习1

1.2 其它常微分方程2

2 Euler方法3

2.1 Euler方法的导出3

2.2 误差分析6

2.3 改进的Euler方法7

3 高阶单步方法10

3.1 Taylor方法10

3.2 怎样构造容易计算的高阶单步方法10

3.3 显式Runge-Kutta方法12

3.4 隐式与半隐式Runge-Kutta方法14

3.5 外推方法14

4 单步方法的收敛性与稳定性16

4.1 稳定性18

4.2 绝对稳定性19

5 线性多步方法22

5.1 数值积分方法：显式方法22

5.2 数值积分方法：隐式方法24

5.3 待定系数方法25

5.4 线性多步方法的应用27

5.5 多步方法的收敛性与稳定性31

6 一阶微分方程组初值问题的数值解法32

6.1 几个常用的算法33

6.2 刚性方程组35

7 把常微分方程的边值问题化为初值问题的数值解法37

习题38

第十章 有限差分方法43

1 抛物型方程的有限差分法43

1.1 定解条件及其分类43

1.2 建立差分方程的基本方法44

1.3 几种常见的差分方程48

1.4 多维抛物型方程的数值解法50

1.5 几个例子53

1.6 边界条件的处理54

2 稳定性和收敛性55

2.1 判断稳定性的代数方法57

2.2 Fourier方法60

3 双曲型方程的有限差分方法64

3.1 一阶线性双曲型方程的有限差分方法69

3.2 二阶线性双曲型方程的有限差分方法73

3.3 守恒型方程的有限差分方法76

4 椭圆型方程的有限差分方法79

4.1 差分方程的建立80

4.2 定解条件的处理83

4.3 极值定理85

4.4 五点差分格式解的存在性和收敛性88

5 常微分方程边值问题的有限差分方法90

习题94

第十一章 有限元方法101

1 变分原理101

1.1 极小位能原理102

1.2 本质边界条件105

1.3 虚功原理107

1.4 椭圆型方程的变分原理108

2 Ritz-галеркин方法110

2.1 Ritz方法111

2.2 Галеркин方法111

2.3 投影定理112

3 常微分方程的有限元方法115

3.1 用Ritz方法建立有限元方程组116

3.2 从Галеркин方法出发120

3.3 线性元的误差估计121

4 椭圆型方程的有限元方法122

4.1 二维矩形元的分片插值多项式的构造122

4.2 三角形元125

4.3 有限元方程组的形成128

5 抛物型方程的有限元方法134

习题136

第十二章 例题选讲139

第十三章 程序设计方法195

1 引言195

2 几个常用的标准子程序195

2.1 子程序的概念195

2.2 常见的子程序196

3 模块化技术202

4 流程图的基本概念及应用204

4.1 流程图的基本概念204

4.2 流程图在程序设计中的应用205

5 编写程序的一般步骤208

6 如何写出好的程序211

6.1 结构简单的程序的特点211

6.2 优化程序211

6.3 其它注意事项213

7 如何把BASIC源程序转化成FORTRAN源程序213

第十四章 数值方法的程序设计示范216

1 引言216

2 线性方程组数值方法的程序设计示范216

2.1 Gauss列主元消去法216

2.2 Jacobi迭代法220

2.3 追赶法223

3 非线性方程组数值方法的程序设计示范223

3.1 一般迭代法224

3.2 Newton迭代法226

4 常微分方程初值问题数值方法的程序设计示范229

5 抛物型偏微分方程的数值方法的程序设计示范235

第十五章 习题解答244

1 第二章非线性方程求根244

2 第三章解线性方程组的直接方法247

3 第四章解线性方程组的迭代法263

4 第五章矩阵特征值问题的数值解法268

5 第六章函数的插值方法277

6 第七章曲线拟合与函数逼近289

7 第八章数值微分与积分292

8 第九章常微分方程初值问题的数值解法296

9 第十章有限差分方法305

10 第十一章有限元方法322

参考资料326