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第一章 函数与极限1

第一节 实数集1

1.1.1 集合与映射1

1.1.2 实数概念4

1.1.3 实数的序·不等式6

1.1.4 绝对值·区间·数集的界9

习题1.111

第二节 一元函数15

1.2.1 一元函数概念15

1.2.2 反函数·复合函数19

1.2.3 函数的基本特性21

1.2.4 初等函数25

1.2.5 双曲函数28

习题1.229

第三节 极限32

1.3.1 数列极限与基本性质32

1.3.2 函数的极限39

1.3.3 无穷小量46

1.3.4 极限的运算法则49

1.3.5 极限的存在准则·基本极限53

1.3.6 无穷小量的比较63

习题1.366

第四节 连续函数69

1.4.1 连续函数概念69

1.4.2 连续函数的运算法则72

1.4.3 连续函数的性质·一致连续性79

习题1.484

第二章 导数与微分87

第一节 导数87

2.1.1 导数的定义87

2.1.2 求导法则·基本导数公式93

2.1.3 高阶导数103

2.1.4 参数方程所确定函数的导数105

习题2.1109

第二节 微分112

2.2.1 微分概念112

2.2.2 微分的应用116

习题2.2118

第三节 中值定理119

2.3.1 微分中值定理119

2.3.2 洛必达法则124

2.3.3 泰勒公式131

习题2.3137

第四节 导数的应用140

2.4.1 函数的单调性与极值140

2.4.2 函数的凹凸性与拐点149

2.4.3 渐近线与函数的作图153

2.4.4 方程的近似解159

习题2.4162

第三章 一元函数积分学165

第一节 不定积分165

3.1.1 不定积分概念·基本积分表165

3.1.2 换元积分法170

3.1.3 分部积分法176

3.1.4 有理函数的积分180

3.1.5 三角函数有理式的积分186

3.1.6 简单无理函数的积分188

习题3.1191

第二节 定积分194

3.2.1 定积分概念194

3.2.2 函数的可积性199

3.2.3 定积分的性质·积分中值定理202

3.2.4 牛顿-莱布尼兹公式208

3.2.5 定积分的换元积分与分部积分213

3.2.6 定积分的近似计算219

习题3.2224

第三节 定积分的应用227

3.3.1 定积分的微元法227

3.3.2 定积分在几何上的应用230

1．平面图形的面积230

2．立体体积233

3．弧长与弧微分235

4．旋转面的面积239

5．曲率241

3.3.3 定积分在物理上的应用245

1．质心245

2．功与引力249

3．转动惯量250

习题3.3251

第四章 级数256

第一节 常数项级数256

4.1.1 基本概念与性质256

4.1.2 正项级数260

4.1.3 任意项级数269

习题4.1278

第二节 函数项级数281

4.2.1 函数项级数与一致收敛性281

4.2.2 一致收敛级数的性质288

习题4.2292

第三节 幂级数292

4.3.1 幂级数概念292

4.3.2 幂级数的运算296

4.3.3 函数的幂级数展式302

4.3.4 幂级数的应用310

习题4.3312

第四节 傅里叶级数315

4.4.1 三角函数系的正交性与傅里叶级数315

4.4.2 函数的傅里叶级数展开317

1．傅里叶级数收敛的充分条件317

2．函数展开为正弦或余弦级数320

3．任意有限区间上的傅里叶级数322

4．傅里叶级数的复数形式326

4.4.3 均方差与贝塞耳不等式329

习题4.4332

习题答案与提示333