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第一部分 初等方法3

第零章 实分析的一些技巧3

0.1　Abel求和法3

0.2　Euler-Maclaurin求和公式5

习题7

第一章 素数11

1.1　概述11

1.2　Tchébychev估计12

1.3　n！的p进赋值15

1.4　Mertens第一定理15

1.5　两个新的渐近公式16

1.6　Mertens公式18

1.7　Tchébychev的另一定理20

注记20

习题21

第二章　数论函数27

2.1　定义27

2.2　例子28

2.3　形式Dirichlet级数29

2.4　数论函数环30

2.5　M？bius反转公式32

2.6　Mangoldt函数33

2.7　Euler示性函数35

注记36

习题37

第三章　均阶41

3.1　概述41

3.2　Dirichlet问题和双曲律41

3.3　因子和函数43

3.4　Euler示性函数44

3.5　ω函数和Ω函数45

3.6　M？bius函数的均值与Tchébychev和函数46

3.7　无平方因子整数49

3.8　取值在［0,1］中的乘性函数之均阶52

注记54

习题55

第四章　筛法63

4.1　？ratosthène筛法63

4.2 Brun组合筛法64

4.3　在孪生素数问题中的应用66

4.4　大筛法的解析形式68

4.5　大筛法的算术形式74

4.6　大筛法的应用76

4.7　Selberg筛法79

4.7.1　简介79

4.7.2　多变元数论函数79

4.7.3　广义卷积80

4.7.4　二次型83

4.7.5　Johnsen-Selberg指数筛法85

4.8　区间中的平方和90

注记93

习题97

第五章　极阶103

5.1　简介和定义103

5.2　函数？(n)104

5.3　函数ω（n）和Ω(n)106

5.4　Euler函数？(n)106

5.5 函数σk(n),k＞0108

注记109

习题109

第六章 van der Corput方法113

6.1 简介和回顾113

6.2　三角积分114

6.3　三角和115

6.4　在Vorono？定理中的应用120

6.5　模1均匀分布123

6.5.1　定义，偏差，Weyl判别法123

6.5.2　Erd？s-Turán不等式124

注记125

习题127

第七章　Diophantus逼近133

7.1　从Dirichlet到Roth133

7.2　最优逼近，连分数135

7.3　连分数展开的性质140

7.4　二次无理数的连分数展开143

注记146

习题146

第二部分　解析方法155

第零章　Euler Γ-函数155

0.1　定义155

0.2　Weierstrass乘积公式157

0.3　β-函数158

0.4　复Stirling公式161

0.5　Hankel公式165

习题166

第一章 生成函数：Dirichlet级数171

1.1　收敛的Dirichlet级数171

1.2　乘性函数的Dirichlet级数172

1.3　Dirichlet级数的基本解析性质173

1.4　收敛坐标与均值179

1.5　一个算术应用：整数的核181

1.6　竖带域中阶的估计182

注记185

习题191

第二章 求和公式197

2.1　Perron公式197

2.2　应用：两个收敛定理203

2.3　均值定理204

注记205

习题206

第三章　Riemann ζ-函数209

3.1　简介209

3.2　解析延拓209

3.3　函数方程212

3.4　临界带域中的逼近和上界估计213

3.5　零点分布的初步估计216

3.6　几个复分析中的引理218

3.7　零点的整体分布220

3.8　Hadamard乘积展开222

3.9　无零点区域224

3.10　ζ'/ζ,1/ζ和logζ的上界估计226

注记227

习题229

第四章　素数定理和Riemann假设237

4.1　素数定理237

4.2　最弱的假设238

4.3　Riemann假设240

4.4　ψ（x）的显式公式243

注记246

习题249

第五章　Selberg-Delange方法253

5.1　ζ（s）的复次幂253

5.2　主要结论256

5.3　定理5.2的证明258

5.4　主要定理的一个变体262

注记265

习题266

第六章　两个算术上的应用273

6.1　素因子个数为k的整数273

6.2　因子的平均分布：反正弦分布279

注记284

习题286

第七章　Tauber型定理289

7.1　简介，Tauber型与Abel型定理的对偶性289

7.2　Tauber定理291

7.3　Hardy-Littlewood和Karamata定理293

7.4　Karamata定理的余项298

7.5　Ikehara定理305

7.6　Berry-Esseen不等式311

7.7　全纯性作为Tauber型条件312

7.8　算术Tauber型定理316

注记319

习题323

第八章 算术数列中的素数分布327

8.1　简介，Dirichlet特征327

8.1.1　定义327

8.1.2　本原特征332

8.1.3　Gauss和333

8.1.4　界334

8.2　L级数，算术数列的素数定理336

8.2.1　L级数及素数的算术数列336

8.2.2　关于数L(1,χ)339

8.2.3 Siegel-Walfisz定理341

8.3 σ≥1时｜L(s,χ)｜的下界估计，定理8.16的证明343

8.4 L（s,χ）的函数方程349

8.5 Hadamard乘积公式及无零点区域351

8.6 ψ（x;χ）的显式公式356

8.7 算术数列的素数定理360

注记365

习题367

第三部分　概率方法375

第一章 密率375

1.1　定义，自然密率375

1.2　对数密率378

1.3　解析密率379

1.4　概率数论380

注记381

习题381

第二章　数论函数的分布律387

2.1　定义，分布函数387

2.2　特征函数391

注记393

习题399

第三章　正规阶403

3.1　定义403

3.2　Turán-Kubilius不等式404

3.3　Turán-Kubilius不等式的对偶形式409

3.4　Hardy-Ramanujan定理及其他应用410

3.5　乘性函数的实效估计413

3.6　整数素因子列的正规结构416

注记417

习题422

第四章 加性函数的分布和乘性函数的均值429

4.1　Erd？s-Wintner定理429

4.2　Delange定理434

4.3　Halász定理438

4.3.1　定理表述438

4.3.2　引理441

4.3.3　定理4.7的证明443

4.3.4　应用446

4.4　Erd？s-Kac定理451

注记453

习题456

第五章　脆数和鞍点法461

5.1　简介，Rankin方法461

5.2　几何方法466

5.3　函数方程467

5.4　Dickman函数472

5.5　用鞍点法逼近Ψ(x,y)478

5.6 Jacobsthal函数和Rankin定理487

注记490

习题497

第六章　无小因子整数503

6.1　简介503

6.2　函数方程505

6.3　Buchstab函数510

6.4　用鞍点法估计Φ(x,y)514

6.5 Kubilius模型523

注记526

习题530

参考文献535

名词索引Ⅰ569

名词索引Ⅱ585