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（上册）1

第1章 量子状态描述1

1.1 Schr？dinger绘景、Heisenberg绘景与相互作用绘景1

1.1.1 三个绘景1

1.1.2 Heisenberg绘景进一步叙述5

1.1.3 相互作用绘景进一步叙述7

1.1.4 三种绘景小结8

1.2 量子系综与密度矩阵（Ⅰ）——基本概念9

1.2.1 量子系综与混态9

1.2.2 密度矩阵方法，Gleason定理13

1.2.3 1/2自旋粒子的纯态与混态，Bloch球描述17

1.2.4 密度矩阵集合的凸性21

1.3 量子系综与密度矩阵（Ⅱ）——进一步叙述22

1.3.1 密度矩阵的运动方程22

1.3.2 约化密度矩阵23

1.3.3 混态用密度矩阵描述的含糊性25

1.4 量子系综与密度矩阵（Ⅲ）——信息、认证和应用26

1.4.1 算符基与密度矩阵的正交算符展开26

1.4.2 密度矩阵ρ的实验认证29

1.4.3 量子态信息的度量——von Neumann熵与其特性32

1.4.4 密度矩阵简单应用举例34

第2章 对称性分析补充38

2.1 空间转动变换分析38

2.1.1 R3群与SU（2）群38

2.1.2 标量场、矢量场、旋量场的转动行为——总角动量的引入50

2.1.3 ｜lm〉的转动变换，D函数计算55

2.1.4 角动量耦合与分解，Clebsch-Gordan系数60

2.1.5 两个角动量耦合基矢的广义交换对称性66

2.1.6 不可约张量算符矩阵元计算，Wigner-Eckart定理68

2.2 时间反演变换若干应用75

2.2.1 时间反演变换应用（Ⅰ）：Kramers定理75

2.2.2 时间反演变换应用（Ⅱ）：微观可逆性定理75

2.2.3 时间反演变换应用（Ⅲ）：K0--K0问题77

2.2.4 时间反演变换应用（Ⅳ）：中子电偶极矩问题77

2.3 全同粒子系统的置换对称性79

2.3.1 微观粒子全同性原理79

2.3.2 全同粒子系统的一般状态81

2.3.3 全同粒子系统的交换作用83

2.3.4 置换群，Yang图与Yang盘88

2.3.5 Yang图基本表示的一些分析89

第3章 全同多粒子非相对论量子力学——二次量子化方法述评93

3.1 经典场论，Lagrange框架和Hamilton框架93

3.1.1 经典场论，Lagrange框架和Hamilton框架93

3.1.2 Noether第一定理95

3.1.3 时空连续变换分析讨论98

3.1.4 内禀连续对称变换与荷守恒101

3.1.5 “Schr？dinger场”的“经典场论”102

3.2 “Schr？dinger场”对易规则二次量子化104

3.2.1 “Schr？dinger场”按对易规则二次量子化104

3.2.2 转入粒子数表象106

3.2.3 与全同Boson多体量子力学的等价性108

3.3 “Schr？dinger场”反对易规则二次量子化113

3.3.1 “Schr？dinger场”按Jordan-Wigner规则二次量子化113

3.3.2 转入粒子数表象114

3.3.3 与全同Fermion多体量子力学的等价性115

3.3.4 二次量子化中对易规则选择问题118

3.4 自作用“Schr？dinger场”二次量子化119

3.4.1 自作用“Schr？dinger场”的二次量子化119

3.4.2 转入粒子数表象121

3.4.3 转入坐标表象123

3.4.4 非相对论二次量子化方法评论125

3.5 全同多体算符转入粒子数表象表示126

3.5.1 全同Boson N体算符的转换126

3.5.2 全同Fermion N体算符的转换129

3.6 简单应用130

3.6.1 弱耦合全同多体系统状态跃迁概率计算130

3.6.2 Bose-Einstein与Fermi-Dirac统计分布律的简明推导133

3.6.3 电中性介质简并电子气的二次量子化136

第4章 量子变换理论概要142

4.1 引言与数学准备142

4.1.1 引言——线性量子变换（LQT）概念142

4.1.2 数学预备146

4.2 多模Fock空间广义线性量子变换的基本理论150

4.2.1 多模Boson系统150

4.2.2 多模Fermion系统157

4.3 一些应用159

4.3.1 特例Ⅰ：多模空间转动变换，角动量的Schwinger表示159

4.3.2 特例Ⅱ：多模Bogoliubov-Valatin变换163

4.3.3 多模二次型Boson系统和Fermion系统的配分函数计算164

4.3.4 多模Boson二次型系统能谱和波函数计算168

4.3.5 Bures保真度和纠缠度计算169

4.4 向连续无穷模情况推广169

4.4.1 基本公式169

4.4.2 量子场CPT变换表达式推导170

第5章 非相对论量子电动力学176

5.1 Maxwell经典场论概要177

5.1.1 自由电磁场能动张量177

5.1.2 与电荷相互作用的经典Maxwell场论，Lorentz规范177

5.1.3 与电荷相互作用的经典Maxwell场论，Coulomb规范179

5.1.4 规范变换与偶极近似181

5.2 Maxwell场正则量子化——非相对论QED（Ⅰ）183

5.2.1 Coulomb规范下的正则量子化184

5.2.2 Hamilton量与运动方程185

5.2.3 动量展开185

5.3 电磁场真空态能量和Casimir效应——非相对论QED（Ⅱ）188

5.3.1 量子电磁场真空态及其能量189

5.3.2 Casimir效应的物理原因190

5.3.3 Casimir效应计算190

5.3.4 讨论192

5.4 Lamb移动——非相对论QED（Ⅲ）193

5.4.1 Lamb移动的物理根源193

5.4.2 电子位置晃动计算195

5.5 相互作用场的量子化——非相对论QED（Ⅳ）198

5.5.1 Maxwell场与Schr？dinger场的相互作用，基本方程组198

5.5.2 相互作用场的二次量子化，相互作用Hamilton量199

5.6 单原子与多模光场相互作用——非相对论QED（Ⅴ）202

5.6.1 相互作用Hi表达式202

5.6.2 Hi的初步应用204

5.6.3 原子受激辐射与自发辐射的发射、吸收系数205

5.6.4 模型计算208

5.7 广义Jaynes-Cummings模型——非相对论QED（Ⅵ）212

5.7.1 广义Jaynes-Cummings模型212

5.7.2 求解与讨论213

5.7.3 应用（Ⅰ）：共振条件下Raman散射腔QED216

5.7.4 应用（Ⅱ）：四模－两道腔QED模型220

第6章 相对论量子力学及缺陷222

引言222

6.1 Klein-Gordon方程223

6.1.1 Klein-Gordon方程的引出及平面波解223

6.1.2 外电磁场中的K-G方程226

6.2 Klein-Gordon方程作为单粒子波函数方程的缺陷228

6.2.1 阶跃势垒散射，Klein佯谬228

6.2.2 K-G方程作为单粒子状态波函数方程的几个缺陷229

6.3 Dirac方程的引出及正负能态解231

6.3.1 自由粒子Dirac方程的导出231

6.3.2 Dirac代数及γ矩阵的表示问题233

6.3.3 自由粒子Dirac方程正负能态解237

6.3.4 电磁场下Dirac方程及共轭方程241

6.4 Dirac方程性质241

6.4.1 Dirac方程解的概率解释241

6.4.2 Dirac方程的Lorentz变换不变性242

6.4.3 波函数二次式的变换规律——协变量研究250

6.4.4 空间转动下ψ变换规律——1/2自旋双旋量解释252

6.4.5 Dirac方程的分立对称变换254

6.4.6 相对论性自由运动的“Zitterbewegung”现象257

6.5 中心场Dirac方程求解——氢原子能谱精细结构259

6.5.1 Dirac方程球坐标下的变数分离——球旋量的引入259

6.5.2 Dirac单电子方程精确解——氢原子能谱精细结构262

6.5.3 简要讨论265

6.6 Dirac方程的非相对论近似265

6.6.1 电磁场中Dirac方程的简单旋量联立表示265

6.6.2 非相对论一阶近似——Pauli方程266

6.6.3 非相对论二阶近似268

6.6.4 讨论271

6.7 Foldy-Wouthysen变换273

6.7.1 自由粒子F-W变换273

6.7.2 一般F-W变换275

6.8 Dirac方程作为单粒子波函数方程的缺陷281

6.8.1 阶跃势垒散射，Klein佯谬281

6.8.2 Klein佯谬物理分析282

6.8.3 作为单粒子量子力学方程缺陷分析284

习题解答概要287

（下册）335

第7章 量子力学的路径积分表述335

7.1 路径积分的基本原理335

7.1.1 基本概念和方法——传播子与Feynman公设335

7.1.2 与Schr？dinger方程的等价性341

7.1.3 Gauss型积分传播子计算，经典路径法342

7.1.4 传播子的微扰论计算345

7.1.5 路径积分变数变换——Jacobi计算（Ⅰ）347

7.2 Green函数及其生成泛函350

7.2.1 算符编时乘积矩阵元350

7.2.2 Green函数352

7.2.3 Green函数生成泛函及其变分355

7.2.4 算符行列式——泛函Jacobi计算（Ⅱ）357

7.3 约束系统量子化方法360

7.3.1 奇异Lagrange系统的Hamilton框架，Hess行列式360

7.3.2 约束系统的广义正则方程362

7.3.3 约束分析，Dirac定理，Dirac括号365

7.3.4 约束系统的Dirac量子化369

7.3.5 约束系统的路径积分量子化370

7.3.6 算例：Dirac正则量子化，路径积分量子化373

7.4 路径积分与有效Lagrange量382

7.4.1 有效Lagrange量概念382

7.4.2 算例：带电振子与交变电场的相互作用383

第8章 多道散射理论（Ⅰ）385

8.1 时演框架的形式散射理论，散射矩阵387

8.1.1 碰撞过程时间演化描述，散射矩阵S定义387

8.1.2 量子力学碰撞理论的应用范畴392

8.1.3 Mφller算符Ω±的定义及其与S矩阵的关系392

8.2 S矩阵微扰展开计算393

8.2.1 S矩阵微扰展开393

8.2.2 S矩阵元计算——向Schr？dinger绘景含时微扰论的转换395

8.2.3 Gell-Mann-Low定理397

8.3 跃迁概率、散射截面与S矩阵的关系401

8.3.1 跃迁矩阵T和跃迁概率计算401

8.3.2 微分截面σ（θ,φ）计算403

8.3.3 T矩阵的幺正关系404

8.3.4 光学定理405

8.3.5 末态密度计算405

8.4 多道散射矩阵S406

8.4.1 散射分道的概念406

8.4.2 分道Hamilton量Hα与渐近态410

8.4.3 渐近条件与分道Mφller算符414

8.4.4 多道散射矩阵S418

8.5 多道散射截面计算422

8.5.1 动量空间基矢422

8.5.2 S矩阵元、能量守恒及壳上T矩阵425

8.5.3 多道散射截面计算430

第9章 多道散射理论（Ⅱ）437

9.1 多道散射理论的定态框架437

9.1.1 单道散射Lippmann-Schwinger方程，自由Green函数算符437

9.1.2 定态框架的单道T算符及Tfi计算441

9.1.3 单道L-S方程的一些变形，全Green函数算符442

9.1.4 单道定态波函数〈x-｜k-±〉的分波展开444

9.1.5 多道散射L-S方程448

9.2 两种框架的关联，分道Mφller算符Ωα±451

9.2.1 分道T算符451

9.2.2 分道T算符的几点讨论453

9.2.3 分道Mφller算符Ωα±的定义455

9.2.4 Ωa±与｜p-,α±〉的关系455

9.2.5 ｜ψ±i,α〉与｜ψi,α〉间的“穿衣关系”457

9.2.6 Mφller算符作用小结459

9.3 时空变换的不变性461

9.3.1 空间转动不变性461

9.3.2 空间反射不变性467

9.3.3 时间反射不变性470

9.4 多道散射Born近似与扭曲波近似473

9.4.1 多道弹性散射的Born近似473

9.4.2 多道非弹性散射的Born近似——靶粒子激发476

9.4.3 例算：电子在氢原子上散射导致激发跃迁1s→2p477

9.4.4 多道扭曲波Born近似479

9.5 束缚态与散射理论的完备性、正交性和幺正性484

9.5.1 多道散射形成束缚定态的分析，Levinson定理484

9.5.2 三组态矢序列的正交性485

9.5.3 束缚态存在与散射理论的渐近完备性488

9.5.4 束缚态存在与散射矩阵S的幺正性490

9.5.5 束缚态存在与Mφller算符的幺正性491

第10章 近似计算方法493

10.1 变分法近似493

10.1.1 变分极值定理493

10.1.2 应用：无限维L2空间分立谱H完备性的Courant-Hilbert定理494

10.1.3 讨论497

10.2 WKB近似498

10.2.1 WKB渐近展开499

10.2.2 适用条件501

10.2.3 转向点邻域分析502

10.2.4 例算503

10.3 绝热近似理论507

10.3.1 传统绝热理论摘要507

10.3.2 绝热U（1）不变基509

10.3.3 绝热不变基的变系数展开511

10.3.4 新绝热条件513

10.3.5 几点重要分析516

10.3.6 例算与分析519

10.3.7 量子几何势差与Berry相位的关联520

第11章 量子纠缠与混态动力学523

引言523

11.1 混态静力学，纠缠度与保真度523

11.1.1 量子纠缠，纠缠度定义523

11.1.2 量子纠缠判断526

11.1.3 Gauss纠缠纯态的纠缠度计算530

11.1.4 Bures保真度计算531

11.2 混态动力学（Ⅰ）——超算符映射与Kraus方程533

11.2.1 密度矩阵演化的超算符映射534

11.2.2 超算符的性质，Kraus定理537

11.3 混态动力学（Ⅱ）——Markov近似与主方程541

11.3.1 Markov近似541

11.3.2 主方程与混态演化542

11.4 混态动力学（Ⅲ）——主方程求解545

11.4.1 求解方法介绍545

11.4.2 求解例算551

第12章 量子理论述评560

12.1 量子理论内禀性质概述560

12.1.1 力学量的“可观测性”与其算符本征函数族的“完备性”560

12.1.2 QT本质的非线性563

12.1.3 测量坍缩的或然性565

12.1.4 测量坍缩的不可逆性566

12.1.5 量子纠缠性568

12.1.6 QT内在逻辑自洽性570

12.1.7 QT本质的多粒子性571

12.1.8 QT本质的空间非定域性572

12.1.9 QT中的因果性577

12.2 量子理论空间非定域性评述579

12.2.1 量子纠缠与“关联型空间非定域性”的等价性579

12.2.2 Bell-CHSH-GHZ-Hardy-Cabello路线评述583

12.2.3 QT空间非定域性评述584

12.3 量子理论因果观评述585

12.3.1 坍缩与关联坍缩的因果分析585

12.3.2 QT因果观（Ⅰ）：与相对论定域因果律不兼容586

12.3.3 QT因果观（Ⅱ）：绝对的因果关系只归属于不可逆过程588

12.3.4 QT因果观（Ⅲ）：不可逆过程也可以是熵不增加的幺正演化过程588

12.4 量子理论的先天不足、逻辑矛盾和困难589

12.4.1 QT的先天不足（Ⅰ）：对测量过程描述的唯象性589

12.4.2 QT的先天不足（Ⅱ）：对跃迁转化过程描述的唯象性589

12.4.3 QT内在的逻辑矛盾及引发的困难590

附录A 状态空间几点附注593

A.1 QT状态空间是数学Hilbert空间的扩充593

A.2 态空间直和：内直和与外直和595

A.2.1 内直和595

A.2.2 外直和596

A.3 态空间直积597

附录B 量子力学算符理论简论599

B.1 常见的几种算符，定义与基本性质599

B.1.1 有界算符600

B.1.2 厄米共轭算符600

B.1.3 对称算符——厄米算符；自伴算符——自共轭算符601

B.1.4 逆算符602

B.1.5 等距算符604

B.1.6 等距算符（续）605

B.1.7 幺正算符607

B.1.8 投影算符608

B.2 态矢和算符的极限与收敛，弱收敛与强收敛609

B.2.1 QT中常常涉及依赖于连续参数α的态矢｜ψ（α）〉及其极限问题609

B.2.2 Cauchy判别609

B.2.3 态矢的强收敛与弱收敛610

B.2.4 算符的极限611

B.3 算符奇异性问题初步处理612

B.3.1 Fock空间尴尬局面及应对原则612

B.3.2 有零本征值算符的逆算符的格林函数处理612

B.4 算符指数（index）定理和算符极化分解614

B.4.1 算符的核空间和算符指数614

B.4.2 算符极化分解和指数定理615

B.5 相位算符和相位差算符619

B.5.1 单模Fermion的相位算符619

B.5.2 两模Boson的相位差算符619

B.5.3 两模Fermion的相位差算符620

B.5.4 Boson和Fermion混合的相位差算符621

附录C 算符完备性的4个定理622

C.1 力学量算符本征函数族完备性的4个定理622

C.1.1 有限维L2空间中算符完备性622

C.1.2 无限维L2空间分立谱H完备性（Ⅰ）——Courant-Hilbert定理622

C.1.3 无限维L2空间分立谱Hamilton量完备性（Ⅱ）——Kato定理622

C.1.4 扩大的L2空间混合谱Hamilton量完备性（Ⅲ）——Fadeev-Hepp定理624

C.2 C-H定理应用（Ⅰ）——中心场径向波函数完备性分析626

C.2.1 下限问题626

C.2.2 C-H定理的直接应用626

C.2.3 一维C-H定理626

C.2.4 中心场径向波函数的完备性问题627

C.3 C-H定理应用（Ⅱ）——中心场径向波函数坍缩分析628

附录D 超冷原子Feshbach共振散射计算630

D.1 低能势散射的共振现象630

D.2 超冷原子散射Feshbach共振物理分析632

D.3 Feshbach共振理论634

D.4 共振宽度635

D.5 散射矩阵637

附录E 泛函变分与泛函导数642

E.1 泛函数，泛函变分和泛函导数642

E.2 泛函数和泛函导数的物理意义643

E.3 泛函导数的微分性质644

E.4 几种泛函的泛函导数645

E.5 用L来表述泛函导数δL/δφσ,δL/δθσ以及场的运动方程647

E.6 泛函导数举例648

E.7 泛函Taylor展开648

附录F Grassmann数的数学分析650

F.1 Grassmann数650

F.2 Grassmann数的变分和积分651

F.3 Grassmann数应用举例652

F.4 Grassmann数的Gauss型重积分计算654

附录G 弯曲空间的矢量平移、和乐及Berry相位658

G.1 引言658

G.2 球面的矢量平行移动660

G.2.1 矢量平移的定义660

G.2.2 球面上的矢量平移661

G.2.3 讨论662

G.2.4 沿并非大圆弧段平移计算举例662

G.3 U（1）和乐（holonomy）群663

G.4 再谈球面和乐相因子——缓变磁场中1/2自旋粒子的演化665

G.5 球面度规与联络系数计算667

G.6 小结669

附录H 路径积分数学分析672

H.1 泛函Jacobi计算672

H.1.1 动量空间展开法672

H.1.2 平方为常数算符673

H.1.3 Green函数法673

H.1.4 近似展开法674

H.2 泛函δ函数计算674

H.2.1 泛函δ函数定义674

H.2.2 泛函δ函数的宗量变换676

H.2.3 例算677

H.3 几个数学分析问题677

H.3.1 分部积分677

H.3.2 Gauss型泛函积分677

H.3.3 Fourier变换679

H.3.4 例算&.680

习题解答概要682

索引720