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第一章　函数与极限1

1.1 函数1

一、函数概念及其几种特性1

二、反函数4

三、复合函数5

四、基本初等函数、初等函数7

五、函数关系的建立10

习题1.113

1.2 函数的极限15

一、数列的极限15

二、函数的极限19

三、无穷小与无穷大23

习题1.224

1.3 函数极限的性质及运算法则25

一、函数极限的性质25

二、函数极限的运算法则27

三、极限存在准则和两个重要极限30

习题1.335

1.4 无穷小的比较36

习题1.438

1.5 函数的连续性与间断点38

一、函数的连续性38

二、函数的间断点40

习题1.542

1.6 连续函数的性质43

一、连续函数的和、差、积、商的连续性43

二、反函数与复合函数的连续性43

三、初等函数的连续性43

四、闭区间上连续函数的性质47

习题1.648

第二章　导数与微分50

2.1 导数的概念50

一、变化率50

二、导数的概念51

三、导数的量纲54

四、可导性与连续性的关系55

五、可导性的图形意义56

习题2.157

2.2 导数的运算法则58

一、基本初等函数的导数58

二、函数的和、差、积、商的导数63

三、复合函数的导数64

四、隐函数的导数66

五、由参数方程所确定的函数的导数69

习题2.271

2.3 函数的微分73

一、微分的概念73

二、微分的运算与微分形式的不变性75

三、微分在近似计算中的应用77

习题2.378

第三章 中值定理与导数的应用79

3.1 中值定理79

一、罗尔中值定理79

二、拉格朗日中值定理80

三、泰勒中值定理83

四、柯西中值定理85

习题3.186

3.2　洛必达法则87

一、？型未定式87

二、？型未定式89

三、其他类型未定式89

习题3.292

3.3 函数单调增减性及其判别法92

习题3.395

3.4 函数的极值及其求法95

一、极值的定义95

二、极值存在的条件96

习题3.498

3.5　最大值、最小值及其应用99

习题3.5102

3.6 曲线的凹凸性及拐点102

一、曲线的凹凸性及拐点102

二、曲率104

习题3.6106

3.7 函数作图106

习题3.7108

3.8 导数应用实例108

一、变化率及相对变化率在经济中的应用109

二、征税的学问113

三、接受能力与讲授时间的关系114

四、您的书写吊灯应该挂多高115

五、鱼群的适度捕捞115

习题3.8116

第四章　积分118

4.1　定积分概念118

一、引例118

二、定积分的概念120

三、定积分的几何意义和物理意义121

四、定积分的基本性质122

习题4.1125

4.2　微积分基本定理126

一、微积分第一基本定理126

二、原函数与不定积分128

三、微积分第二基本定理133

习题4.2135

4.3　基本积分法136

一、换元积分法136

二、分部积分法149

三、几种特殊类型函数的积分举例153

习题4.3157

4.4　反常积分159

一、无穷区间上的反常积分159

二、被积函数有无穷间断点的反常积分161

三、Γ函数与β函数162

习题4.4165

4.5　定积分的应用165

一、定积分的微元法166

二、定积分的几何应用166

三、定积分的物理应用172

四、定积分的其他应用173

习题4.5176

第五章　空间解析几何与向量代数178

5.1 空间直角坐标系178

一、空间直角坐标系178

二、空间两点间的距离179

习题5.1180

5.2 向量代数180

一、向量的概念180

二、向量的线性运算181

三、向量的坐标表示183

四、向量的模与方向余弦的坐标表示式185

五、向量的标量积186

六、向量的向量积188

习题5.2190

5.3 平面与空间直线190

一、平面190

二、空间直线195

习题5.3198

5.4 空间曲面与空间曲线199

一、空间曲面199

二、空间曲线202

习题5.4205

5.5 二次曲面205

一、椭球面205

二、抛物面206

三、双曲面208

四、二次锥面208

习题5.5209

第六章 多元函数微分法及其应用210

6.1 多元函数的基本概念210

一、区域210

二、多元函数的定义211

三、二元函数的极限与连续214

习题6.1217

6.2　偏导数与全微分218

一、偏导数218

二、全微分223

习题6.2227

6.3 多元复合函数与隐函数的求导法则227

一、多元复合函数的求导法则227

二、隐函数求导法则233

习题6.3236

6.4　偏导数的几何应用237

一、空间曲线的切线与法平面237

二、曲面的切平面与法线238

习题6.4240

6.5　最优化问题240

一、极值的概念240

二、极值存在的条件241

三、最大值与最小值243

四、最优化问题244

五、最小二乘法及其应用248

习题6.5253

第七章 多元函数积分及其应用255

7.1 二重积分的概念与性质255

一、二重积分的概念255

二、二重积分的性质258

习题7.1259

7.2　二重积分的计算259

一、在直角坐标系下计算二重积分260

二、在极坐标系下计算二重积分266

习题7.2270

7.3 二重积分的应用272

一、立体的体积272

二、曲面的面积274

习题7.3277

7.4 三重积分的概念及其计算278

一、三重积分的概念278

二、三重积分的计算279

习题7.4287

7.5 曲线积分288

一、对弧长的曲线积分288

二、对坐标的曲线积分292

三、格林定理及其应用299

习题7.5303

第八章　微分方程与差分方程简介305

8.1　微分方程的基本概念305

一、引例305

二、微分方程的基本概念306

习题8.1307

8.2 可分离变量的一阶微分方程308

习题8.2310

8.3 一阶线性微分方程310

一、一阶线性齐次微分方程311

二、一阶线性非齐次微分方程311

三、伯努利微分方程314

习题8.3315

8.4 可降阶的高阶微分方程315

一、y(n)=f（x）型的高阶微分方程315

二、y"=f（x,y'）型的微分方程316

三、y"=f（y,y'）型的微分方程318

习题8.4319

8.5 二阶常系数线性微分方程320

一、通解的结构320

二、二阶常系数线性齐次微分方程321

三、二阶常系数线性非齐次微分方程324

习题8.5328

8.6　微分方程应用实例328

一、嫌疑犯问题328

二、含盐量问题329

三、悬链线方程问题330

习题8.6332

8.7　差分方程简介332

一、差分方程的基本概念332

二、线性差分方程的基本定理334

三、一阶线性差分方程335

四、二阶线性差分方程341

习题8.7346

第九章　无穷级数347

9.1 常数项级数的概念与性质347

一、常数项级数的概念347

二、无穷级数的基本性质349

习题9.1352

9.2 常数项级数敛散性的判别方法353

一、正项级数及其敛散性的判别方法353

二、交错级数及其敛散性的判别方法359

三、绝对收敛与条件收敛360

习题9.2362

9.3 幂级数363

一、函数项级数的一般概念363

二、幂级数及其收敛域364

三、幂级数的运算368

四、函数展开成幂级数370

五、幂级数在近似计算中的应用374

习题9.3377

第十章　数学建模初步及应用范例379

10.1 建立数学模型的一般步骤379

10.2　应用范例381

一、不允许缺货的存贮问题381

二、交通管理问题382

三、铅球投掷问题384

四、传染病的传播问题387

习题10.2391

单元自测题393

一元函数微分学自测题393

一元函数积分学自测题394

多元函数微分学自测题395

多元函数积分学自测题396

常微分方程自测题398

无穷级数自测题398

附录Ⅰ 积分表400

附录Ⅱ Maple简介408

附录Ⅲ 二阶和三阶行列式简介418

附录Ⅳ 常用的三角函数公式421

附录Ⅴ 常用的极坐标和参数方程表示的曲线422

习题答案425

单元自测题答案447

名词术语索引450

参考文献454