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第1章 线性方程组1

1.1线性方程组的解法回顾1

1.1.1从高斯消元法谈起1

1.1.2计算复杂性分析4

1.1.3历史开了个大玩笑6

1.2矩阵的LU分解9

1.2.1 LU分解定理9

1.2.2列选主元法14

1.2.3特殊矩阵的LU分解21

1.3数值计算的几个基本概念27

1.3.1计算机的浮点数系统与舍入误差27

1.3.2问题的病态性与算法的稳定性31

1.3.3算法的计算复杂性34

1.4线性方程组的数值解法概述37

习题一39

第2章 线性空间与线性变换40

2.1从解空间到向量空间40

2.1.1从齐次线性方程组的求解谈起40

2.1.2向量空间41

2.1.3向量空间的历史：前传45

2.2线性空间51

2.2.1什么是线性51

2.2.2线性空间的概念及性质53

2.2.3线性空间的基、坐标及其变换56

2.2.4线性空间的同构61

2.2.5向量空间的历史：狂飙的数学63

2.3子空间的交与和73

2.3.1子空间的交与和73

2.3.2子空间的直和76

2.4线性变换及其矩阵表示78

2.4.1几个简单的线性变换78

2.4.2线性变换及其性质81

2.4.3线性变换的矩阵表示86

2.4.4线性变换的不变子空间93

2.5矩阵的Jordan标准型96

2.5.1从算术基本定理到Jordan标准型96

2.5.2 Jordan标准型的简易求法97

2.5.3 Jordan其人103

2.6方阵高次幂的计算104

2.6.1从两个例子说起104

2.6.2 Jordan分解法106

2.6.3 Cayley-Hamilton定理及最小多项式108

习题二110

第3章 内积空间115

3.1从向量空间Rn到欧氏空间Rn115

3.1.1从向量的内积说起115

3.1.2欧氏空间Rn的标准正交基117

3.2 QR分解121

3.2.1再谈Gram-Schmidt方法121

3.2.2矩阵的QR分解124

3.3欧氏空间及其标准正交基128

3.3.1欧氏空间129

3.3.2欧氏空间的标准正交基134

3.3.3正交投影定理139

3.4最小二乘法140

3.4.1解不相容线性方程组的最小二乘法140

3.4.2最佳逼近定理及其应用142

3.5 Householder变换与Givens变换145

3.5.1正交变换及其矩阵145

3.5.2求QR分解的Householder变换法150

3.5.3下蛋的母鸡153

3.6酉空间、酉变换与酉矩阵154

习题三157

第4章 特殊变换及其矩阵161

4.1正规变换与正规矩阵161

4.1.1正规变换161

4.1.2正规矩阵162

4.2 Hermite变换与Hermite矩阵168

4.2.1 Hermite变换（Hermite矩阵）的定义和性质168

4.2.2达到教育的目的是用头脑，又不是用脚171

4.2.3正定Hermite矩阵172

4.2.4对称：是可怕的还是可爱的？177

4.3投影变换与投影矩阵179

4.4谱分解的应用183

4.4.1离散Karhunen-Loeve变换184

4.4.2主成分分析185

4.5矩阵的奇异值分解187

4.5.1从几何观测说起188

4.5.2由SVD导出的矩阵性质190

4.5.3 SVD的算法193

4.5.4 SVD教授195

4.6矩阵的标准型197

4.6.1实正规矩阵在正交相似下的标准型197

4.6.2各种矩阵标准型之间的关系200

习题四202

第5章 范数及其应用205

5.1向量范数205

5.1.1从绝对值及模说起205

5.1.2常用的向量范数206

5.1.3向量范数的几个性质212

5.2矩阵范数213

5.2.1矩阵范数的概念213

5.2.2算子范数及范数的相容性214

5.2.3矩阵范数的几个性质219

5.3范数的几个应用221

5.3.1谱半径与矩阵范数221

5.3.2线性方程组解与矩阵逆的扰动分析223

5.3.3矩阵的低秩逼近及其应用226

5.3.4只要醒着，你就必须思考数学229

习题五231

第6章 矩阵分析及其应用233

6.1矩阵序列与矩阵级数233

6.1.1矩阵序列233

6.1.2矩阵级数238

6.2解线性方程组的古典迭代法243

6.2.1三种基本迭代法243

6.2.2敛散性分析247

6.3解线性方程组的现代迭代法250

6.3.1共轭梯度法250

6.3.2子空间迭代法255

6.3.3那些年，那些事259

6.4函数矩阵及λ矩阵262

6.4.1函数矩阵262

6.4.2 λ矩阵及其Smith标准型266

6.4.3 Smith标准型的应用272

6.5矩阵函数及其计算274

6.5.1矩阵函数的定义及性质274

6.5.2矩阵函数的计算279

6.5.3矩阵指数函数的数值计算：krylov子空间法285

6.6矩阵的微分与积分286

6.6.1含参矩阵函数的微分与积分286

6.6.2函数对向量的微分287

6.6.3矩阵标量函数对矩阵的微分291

6.6.4矩阵对矩阵的微分292

6.6.5成于计算，败于算计294

6.7矩阵函数的应用295

6.7.1线性常系数微分方程组295

6.7.2应用Ⅰ：线性定常系统的状态转移矩阵298

6.7.3矩阵微分方程299

6.7.4应用Ⅱ：线性时变系统的状态转移矩阵301

6.7.5应用Ⅲ：线性时变系统的能控性和能观测性303

习题六306

第7章 特征值问题309

7.1特征值的估计309

7.1.1从特征值问题的稳定性说起309

7.1.2盖尔定理310

7.1.3特征值的界314

7.2多项式特征值问题315

7.2.1广义特征值问题316

7.2.2二次特征值问题321

7.3 Rayleigh商和广义Rayleigh商325

7.3.1 Rayleigh商326

7.3.2广义Rayleigh商328

7.3.3乐在其中的瑞利勋爵329

7.4特征值问题的数值算法综述331

7.4.1扰动和敏感性331

7.4.2幂法与反幂法333

7.4.3 QR法334

7.4.4 krylov子空间法336

7.4.5 Jacobi-Davidson法338

7.4.6兰乔斯先生，请您压阵339

习题七341

习题答案与提示342

参考文献362