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第一章 函数的极限1

第一节 初等函数1

一、函数的概念1

二、基本初等函数3

三、函数的复合4

四、初等函数5

五、双曲函数6

习题1.18

一、数学建模的步骤10

第二节 数学模型10

二、例(双层玻璃窗的保暖作用)11

习题1.214

第三节 函数的极限15

一、函数的极限15

二、极限的性质20

三、极限思想的发展21

习题1.322

第四节 权限方法23

一、无穷大与无穷小23

二、极限运算法则24

三、两个重要极限27

习题1.431

第五节 无穷小的比较32

一、无穷小的比较32

二、等价无穷小代换34

三、极限应用一例——正矢法36

习题1.539

第六节 函数的连续性39

一、连续函数的概念39

二、函数的间断点42

三、初等函数的连续性43

四、闭区间上连续函数的性质44

习题1.646

第一章 复习题47

第二章 导数与微分49

第一节 导数的概念49

—、引例49

二、导数的定义51

三、求导数举例52

四、导数的实际意义54

五、可导与连续的关系57

习题2.158

第二节 求导法则59

一、函数的和、差、积、商的求导法则59

二、反函数的求导法则61

三、复合函数的求导法则62

习题2.265

第三节 隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数67

一、隐函数及其求导67

二、对数求导法68

三、参数方程所确定的函数的导数69

习题2.370

第四节 高阶导致71

一、高阶导数的概念71

二、高阶导数的求法71

习题2.474

第五节 微分及其应用75

一、微分的概念75

二、微分的几何意义77

三、微分公式与微分法则78

四、微分在近似计算中的应用80

五、微分在误差估计中的应用81

习题2.583

第二章 复习题84

第三章 导数的应用86

第一节 微分中值定理86

一、罗尔中值定理86

二、拉格朗日中值定理87

三、柯西中值定理89

习题3.190

第二节 泰勒公式91

—、泰勒中值定理91

二、麦克劳林公式94

习题3.296

第三节 洛必达法则97

一、“”及“”型未定式的极限98

二、其他类型的未定式99

三、应用洛必达法则时应注意的几个问题101

习题3.3102

一、函数的单调性103

第四节 函数的单调性与极值103

二、函数的极值105

三、最大值、最小值108

习题3.4110

第五节 一元函数图形的描绘112

一、曲线的凹凸与拐点113

二、渐近线115

三、函数图形的描绘方法116

习题3.5119

第六节 曲率121

一、弧微分公式122

二、曲率计算公式123

三、曲率圆与曲率半径126

习题3.6128

第七节 方程的近似解法129

习题3.7131

第四章 不定积分135

第一节 不定积分的概念与性质135

一、原函数与不定积分的概念135

二、不定积分的性质137

四、基本积分表138

三、不定积分的几何意义138

习题4.1142

第二节 换元积分法142

一、第一类换元法(凑微分法)142

二、第二类换元法147

习题4.2151

第三节 分部积分法152

第四章 复习题156

习题4.3156

第五章 定积分及其应用159

第一节 定积分的概念159

—、引例159

二、定积分的定义163

三、定积分的几何意义165

习题5.1167

第二节 定积分的性质167

习题5.2171

一、积分上限函数及其导数172

第三节 微积分基本公式172

二、微积分基本公式175

习题5.3178

第四节 定积分的计算方法179

一、换元积分法179

二、分部积分法184

三、近似计算法187

习题5.4193

第五节 定积分在几何方面的应用194

一、定积分的微元法195

二、平面图形的面积197

三、体积203

四、平面曲线的弧长207

习题5.5210

第六节 定积分在物理与经济方面的应用212

一、功213

二、液体的压力214

三、拉(压)杆的变形215

四、经济方面的应用216

第七节 广义积分219

习题5.6219

一、无限区间上的广义积分220

二、无界函数的广义积分223

习题5.7227

第五章 复习题229

第六章 常微分方程234

第一节 微分方程的基本概念234

—、引例234

二、微分方程的基本概念235

习题6.1237

二、可分离变量的微分方程238

第二节 一阶微分方程238

一、最简单的一阶微分方程的解法238

三、齐次型微分方程240

四、一阶线性微分方程241

五、一阶微分方程的应用举例245

习题6.2250

第三节 可降阶的二阶微分方程251

一、Y ＝f(x)型的微分方程251

三、y ＝f(y，y )型的微分方程252

二、Y ＝f(x，y )型的微分方程252

第四节 二阶线性微分方程256

一、通解形式256

习题6.3256

二、二阶线性常系数齐次微分方程的解法258

三、二阶线性常系数非齐次微分方程的解法262

四、二阶线性常系数微分方程的应用举例265

习题6.4268

第六章 复习题269

一、启动273

二、输入命令273

第七章 Mathematica数学软件系统简介273

第一节 基本知识273

三、执行275

四、退出与关机275

第二节代数运算与作图275

—、简单计算275

二、函数作图276

三、方程求解279

习题7.1280

一、极限运算281

二、求导数281

第三节一元微积分计算281

三、积分282

四、求泰勒多项式283

五、数值运算284

习题7.2285

第四节微分方程模型287

习题7.3290

一、空间直角坐标系292

第八章向量代数与空间解析几何292

第一节空间直角坐标系292

二、空间两点间的距离294

习题8.1295

第二节空间向量295

一、空间向量的概念295

二、向量的线性运算296

三、向量的坐标表示297

四、两向量的数量积300

五、两向量的向量积302

习题8.2303

第三节空间平面与直线的方程304

一、平面的方程304

二、直线的方程307

习题8.3309

第四节曲面及其方程310

一、曲面方程的概念310

二、球面的方程311

三、柱面的方程311

四、旋转曲面的方程313

五、几种常见二次曲面314

习题8.4316

第八章复习题316

第九章无穷级数318

第一节常数项级数318

一、无穷级数的基本概念318

二、无穷级数的基本性质320

三、级数收敛的必要条件321

习题9.1323

一、比较审敛法324

第二节正项级数及其审敛法324

二、比值审敛法327

习题9.2329

第三节任意项级数330

一、交错级数330

二、绝对收敛与条件收敛333

习题9.3334

第四节幂级数335

一、幂级数的收敛性336

二、幂级数的性质339

习题9.4341

第五节函数的幂级数展开342

一、麦克劳林级数342

二、将函数展开成幂级数的两种方法343

三、椭圆周长的近似公式346

习题9.5347

第六节傅里叶级数介绍348

一、周期为2π的函数的傅里叶级数348

二、周期为2ι的函数的傅里叶级数354

三、定义在有限区间上的函数的展开357

习题9.6360

第九章复习题361

第十章多元函数微分学363

第一节多元函数的基本概念363

一、多元函数概念363

二、二元函数的极限与连续367

习题10.1370

第二节偏导数371

一、偏导数的概念371

二、高阶偏导数374

习题10.2376

第三节全微分与方向导数、梯度377

一、全微分的定义377

二、全微分在近似计算中的应用380

三、方向导数382

四、梯度383

习题10.3385

第四节复合函数与隐函数求导法386

一、复合函数求导法386

二、隐函数求导法389

习题10.4391

第五节偏导数的应用392

一、偏导数的几何应用392

二、多元函数的极值395

习题10.5403

第六节偏微分方程简介405

一、偏微分方程的一般概念405

二、与常微分方程的比较405

三、分离变量法406

第十章复习题409

习题10.6409

第十一章多元函数的积分学411

第一节二重积分的概念411

习题11.1415

第二节二重积分的计算415

一、直角坐标系下二重积分的计算416

二、极坐标系下二重积分的计算420

习题11.2423

一、三重积分424

第三节三重积分、曲线积分、曲面积分简介424

二、对弧长的曲线积分428

三、对面积的曲面积分430

习题11.3432

第四节二重积分在工程力学中的应用433

一、重心与形心433

二、平面图形的几何性质438

三、转动惯量441

习题11.4442

一、空间图形的画法444

第五节Mathematica数学软件系统在多元微积分中的应用444

二、偏导数与全微分446

三、重积分446

习题11.1447

第六节山区公路选线模型448

一、问题的提出448

二、模型假设449

三、绘三维图——看看该山区的立体形象450

四、画等值线图——看看该山区的平面形象450

六、画横断面图——为了选择隧道口的位置451

五、画密度图——为了确定桥头和隧道候选点的平面位置451

七、四个值得进一步研究的问题452

第十一章复习题452

第十二章拉普拉斯变换454

第一节拉氏变换的概念及常见的拉氏变换454

习题12.1458

第二节拉氏变换的性质459

习题12.2465

第三节拉普拉斯逆变换465

习题12.3468

第四节拉氏变换应用举例469

习题12.4471

第十二章复习题472

附录I常用函数的拉氏变换表473

附录II几种常用的曲线474

附录III初等数学公式478

附录IV希腊字母表481

习题参考答案482

参考文献514