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第一部分 基础知识1

第1章 基础知识3

1.1 迭代法的基本概念3

1.1.1 迭代法的定义与分类3

1.1.2 收敛性与收敛速度4

1.1.3 相容性与敏感性分析7

1.2 矩阵8

1.2.1 基本矩阵类型8

1.2.2 具有特殊性质的矩阵类型12

1.2.3 矩阵分解15

1.3 大型稀疏矩阵的存储与运算17

1.3.1 稀疏矩阵的存储格式17

1.3.2 基本稀疏矩阵运算21

1.4 矩阵分裂26

1.4.1 正规分裂28

1.4.2 非负、弱非负、弱和更弱分裂28

1.4.3 H， H相容和M分裂29

1.5 投影方法30

1.5.1 子空间、值域和核30

1.5.2 投影算子31

1.5.3 投影方法35

1.6 正交基的构造44

1.6.1 Gram-Schmidt和Householder过程44

1.6.2 Arnoldi过程48

1.6.3 Lanczos过程50

1.6.4 Lanczos双正交化过程51

1.7 并行算法基本概念54

1.7.1 并行算法的概念和分类54

1.7.2 并行算法的复杂性55

1.7.3 加速比与效率55

1.7.4 可扩展性分析56

第二部分 迭代方法59

第2章 分裂迭代法61

2.1 经典迭代法61

2.1.1 Richardson迭代法61

2.1.2 Jacobi迭代法64

2.1.3 Gauss-Seidel迭代法66

2.2 松弛型迭代法68

2.2.1 SOR迭代法68

2.2.2 AOR迭代法76

2.3 HSS方法82

2.3.1 方法介绍82

2.3.2 收敛性理论84

2.3.3 PHSS迭代法90

2.4 基于缩减技术的迭代法96

2.4.1 缩减方法96

2.4.2 实现与讨论99

2.5 红黑排序105

第3章 并行多分裂方法110

3.1 一般并行多分裂方法110

3.1.1 基本概念110

3.1.2 收敛性定理与收敛速度估计112

3.2 松弛型多分裂迭代法114

3.2.1 系统松弛法115

3.2.2 局部松弛法115

3.3 二级多分裂迭代法116

3.3.1 方法117

3.3.2 收敛性定理118

3.3.3 数值试验120

3.4 松弛型二级多分裂迭代法122

3.4.1 方法123

3.4.2 收敛性定理125

3.4.3 数值试验129

3.5 块二级多分裂拟消去迭代法132

3.5.1 方法132

3.5.2 收敛性定理135

3.5.3 数值试验137

3.6 异步多分裂迭代法138

3.6.1 多分裂迭代法的混乱模式138

3.6.2 异步块二级多分裂迭代法140

3.6.3 异步松弛型非定常二级多分裂方法143

3.7 网格计算环境中线性多分裂的负载平衡151

3.7.1 GREMLINS库中使用的并行线性多分裂方法152

3.7.2 负载平衡154

第4章 Krylov子空间迭代法159

4.1 Krylov子空间与预处理迭代159

4.1.1 Krylov子空间159

4.1.2 预处理迭代161

4.2 正交投影方法162

4.2.1 共轭梯度（CG）方法及其收敛性163

4.2.2 预处理共轭梯度方法171

4.2.3 CGNR和CGNE方法174

4.2.4 COCG和GCG方法177

4.2.5 完全正交化（FOM）方法182

4.3 正交化（极小残差）方法187

4.3.1 GMRES方法及其实现188

4.3.2 GMRES方法的收敛性198

4.3.3 GMRES方法的变形203

4.3.4 预处理GMRES方法209

4.3.5 CR， GCR， ORTHOMIN和ORTHODIR方法217

4.4 双正交化方法220

4.4.1 BiCG， QMR及CGS方法221

4.4.2 BiCGSTAB方法228

4.4.3 BiCRSTAB方法233

4.4.4 TFQMR方法242

4.5 混合型Krylov子空间方法247

4.5.1 QMRCGSTAB方法248

4.5.2 BiCGSTAB（l）方法254

4.5.3 GPBiCG方法265

4.5.4 IDR（s）：一簇诱导降维方法269

4.6 方法综述与选择指导278

第5章 并行Krylov子空间迭代法283

5.1 并行性能模型285

5.1.1 性能模型285

5.1.2 通讯开销降低的影响290

5.1.3 模型的计时比较295

5.2 并行共轭梯度方法297

5.2.1 降低全局通讯次数297

5.2.2 CG与MCG的并行性能301

5.2.3 重叠通讯和计算304

5.2.4 CG与parCG的并行性能306

5.3 并行多搜索方向共轭梯度方法308

5.3.1 MSD-CG方法309

5.3.2 性质和引理313

5.3.3 收敛性与相容性316

5.3.4 数值试验323

5.4 多预处理CG方法330

5.4.1 MPCG方法331

5.4.2 理论分析333

5.4.3 数值试验336

5.5 并行GMRES方法340

5.5.1 GMRES（m）的并行性能340

5.5.2 通讯冗余降低：parGMRES（m）341

5.5.3 GMRES（m）和parGMRES（m）的性能344

5.6 并行BiCG方法347

5.6.1 Lanczos过程347

5.6.2 改进的BiCG方法350

5.6.3 并行实现352

5.6.4 数值试验354

5.7 并行BiCR方法355

5.7.1 IBiCR方法算法设计356

5.7.2 并行性能分析357

5.7.3 可扩展性等效率分析359

5.7.4 数值试验362

5.8 并行BiCGSTAB方法365

5.8.1 改进的BiCGSTAB方法365

5.8.2 重叠计算和组通讯368

5.9 并行BiCRSTAB方法374

5.9.1 IBiCRSTAB的算法设计374

5.9.2 性能和等效率分析376

5.9.3 数值试验378

5.10 并行QMR方法382

5.10.1 改进的QMR方法382

5.10.2 大同步并行结构385

5.10.3 理论复杂性分析388

5.10.4 数值试验390

5.11 并行IDR（s）方法393

5.11.1 具有极小同步化点的一种有效IDR（s）变形394

5.11.2 求最优参数s402

5.11.3 Q的稀疏列向量404

第6章 非线性代数方程组迭代方法406

6.1 问题来源与求解方法406

6.2 迭代方法的收敛速度和收敛性407

6.2.1 迭代方法的收敛因子408

6.2.2 迭代方法的收敛阶408

6.2.3 迭代法的收敛性411

6.3 Newton法与拟Newton法412

6.3.1 Newton法412

6.3.2 Newton法的收敛性414

6.3.3 非线性迭代收敛准则416

6.3.4 拟Newton方法416

6.3.5 逆拟Newton迭代418

6.4 非精确Newton法421

6.4.1 非精确Newton法422

6.4.2 强制项及其选取424

6.4.3 Newton-Krylov子空间方法428

6.4.4 JFNK方法430

6.4.5 Newton-Krylov方法中的预处理433

6.4.6 函数评估和Jacobi矩阵计算中的误差分析435

6.5 非线性迭代的全局化方法439

6.5.1 全局收敛的非精确Newton法439

6.5.2 NGECB方法442

6.5.3 NGQCGB方法444

6.5.4 NGLM方法458

第7章 解法器软件包介绍485

7.1 BLAS：基本线性代数子程序485

7.2 ScaLAPACK：可扩展线性代数库486

7.3 MUMPS：多前沿大规模并行稀疏直接解法器489

7.4 SuperLU：超级LU分解490

7.5 PSBLAS：并行稀疏基本线性代数491

7.6 PIM：线性方程组并行迭代方法库492

7.7 PETSc：可移植可扩展科学计算工具箱493

7.8 KINSOL：非线性代数解法器495

参考文献497

索引518

《信息与计算科学丛书》已出版书目524